共通テスト数学II・数学B 2021年度追試第4問 [2] 解説

【第3問～第5問から2問選択】

問題編

問題

　$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}\def\dBox#1{\bbox[4px, border: 2px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ \bf{ #1 }\ } }}\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ #1\ } }}$太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、数学的に考えることにした。

　縦の長さが $1$ 、横の長さが $2$ の長方形のタイルが多数ある。それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。

　上の図のように、縦の長さが $3$ 、横の長さが $2n$ の長方形を $R_n$ とする。 $3n$ 枚のタイルを用いた $R_n$ 内の配置の総数を $r_n$ とする。

　$n=1$ のときは、下の図のように $r_1=3$ である。

　また、 $n=2$ のときは、下の図のように $r_2=11$ である。

(1) 太郎さんは次のような図形 $T_n$ 内の配置を考えた。

　$(3n+1)$ 枚のタイルを用いた $T_n$ 内の配置の総数を $t_n$ とする。 $n=1$ のときは、 $t_1=\myBox{ク}$ である。

　さらに、太郎さんは $T_n$ 内の配置について、右下隅のタイルに注目して次のような図をかいて考えた。

　この図から、2以上の自然数 $n$ に対して\[ t_n=Ar_n+Bt_{n-1} \]が成り立つことがわかる。ただし、 $A=\myBox{ケ}$ 、 $B=\myBox{コ}$ である。

　以上から、 $t_2=\myBox{サシ}$ であることがわかる。

　同様に、 $R_n$ の右下隅のタイルに着目して次のような図をかいて考えた。

　この図から、 $2$ 以上の自然数 $n$ に対して\[ r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1} \]が成り立つことがわかる。ただし、 $C=\myBox{ス}$ 、 $D=\myBox{セ}$ である。

(2) 畳を縦の長さが $1$ 、横の長さが $2$ の長方形とみなす。縦の長さが $3$ 、横の長さが $6$ の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は $\myBox{ソタ}$ である。

　また、縦の長さが $3$ 、横の長さが $8$ の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は $\myBox{チツテ}$ である。