共通テスト 数学II・数学B 2021年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}\def\dBox#1{\bbox[4px, border: 2px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ \bf{ #1 }\ } }}\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ #1\ } }}$(1) $\log_{10}10=\myBox{ア}$ である。また、 $\log_{10}5$, $\log_{10}15$ をそれぞれ $\log_{10}2$ と $\log_{10}3$ を用いて表すと
\begin{eqnarray}
& & \log_{10}5 = \myBox{イ}\log_{10}2+\myBox{ウ} \\[5pt] & & \log_{10}15 = \myBox{エ}\log_{10}2+\log_{10}3+\myBox{オ} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

(2) 太郎さんと花子さんは、 $15^{20}$ について話している。

 以下では、 $\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$ とする。

太郎: $15^{20}$ は何桁の数だろう。

花子: $15$ の $20$ 乗を求めるのは大変だね。 $\log_{10}15^{20}$ の整数部分に着目してみようよ。

 $\log_{10}15^{20}$ は\[ \myBox{カキ}\lt \log_{10}15^{20}\lt\mybox{カキ} +1 \]を満たす。よって、 $15^{20}$ は $\myBox{クケ}$ 桁の数である。

太郎: $15^{20}$ の最高位の数字も知りたいね。だけど、 $\log_{10}15^{20}$ の整数部分にだけ着目してもわからないな。

花子: $N\cdot10^{\mybox{カキ}}\lt 15^{20}\lt(N + 1)\cdot 10^{\mybox{カキ}}$ を満たすような正の整数 $N$ に着目してみたらどうかな。

 $\log_{10}15^{20}$ の小数部分は $\log_{10}15^{20}-\mybox{カキ}$ であり\[ \log_{10}\myBox{コ}\lt \log_{10}15^{20}-\mybox{カキ}\lt \log_{10}\left(\mybox{コ}+1\right) \]が成り立つので、 $15^{20}$ の最高位の数字は $\myBox{サ}$ である。

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考え方

何桁か、最高位の数字は何か、という対数の中ではよくある問題です。特にひねりもないので、類題を解いたことがあれば特に迷うところはないでしょう。

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