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共通テスト 数学II・数学B 2021年度追試 第1問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

(1) $\log_{10}10=\myBox{ア}$ である。また、 $\log_{10}5$, $\log_{10}15$ をそれぞれ $\log_{10}2$ と $\log_{10}3$ を用いて表すと
\begin{eqnarray} & & \log_{10}5 = \myBox{イ}\log_{10}2+\myBox{ウ} \\[5pt] & & \log_{10}15 = \myBox{エ}\log_{10}2+\log_{10}3+\myBox{オ} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

(2) 太郎さんと花子さんは、 $15^{20}$ について話している。

 以下では、 $\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$ とする。

  • $15^{20}$ は何桁の数だろう。
  • $15$ の $20$ 乗を求めるのは大変だね。 $\log_{10}15^{20}$ の整数部分に着目してみようよ。

 $\log_{10}15^{20}$ は\[ \myBox{カキ}\lt \log_{10}15^{20}\lt\mybox{カキ} +1 \]を満たす。よって、 $15^{20}$ は $\myBox{クケ}$ 桁の数である。

  • $15^{20}$ の最高位の数字も知りたいね。だけど、 $\log_{10}15^{20}$ の整数部分にだけ着目してもわからないな。
  • $N\cdot10^{\mybox{カキ} }\lt 15^{20}\lt(N + 1)\cdot 10^{\mybox{カキ} }$ を満たすような正の整数 $N$ に着目してみたらどうかな。

 $\log_{10}15^{20}$ の小数部分は $\log_{10}15^{20}-\mybox{カキ}$ であり\[ \log_{10}\myBox{コ}\lt \log_{10}15^{20}-\mybox{カキ}\lt \log_{10}\left(\mybox{コ}+1\right) \]が成り立つので、 $15^{20}$ の最高位の数字は $\myBox{サ}$ である。

考え方

何桁か、最高位の数字は何か、という対数の中ではよくある問題です。特にひねりもないので、類題を解いたことがあれば特に迷うところはないでしょう。


解答編

問題

(1) $\log_{10}10=\myBox{ア}$ である。また、 $\log_{10}5$, $\log_{10}15$ をそれぞれ $\log_{10}2$ と $\log_{10}3$ を用いて表すと
\begin{eqnarray} & & \log_{10}5 = \myBox{イ}\log_{10}2+\myBox{ウ} \\[5pt] & & \log_{10}15 = \myBox{エ}\log_{10}2+\log_{10}3+\myBox{オ} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

解説

$10^1=10$ なので、 $\log_{10}10=1$ です。また、
\begin{eqnarray} \log_{10}5 &=& \log_{10}\frac{10}{2} \\[5pt] &=& \log_{10}10-\log_{10}2 \\[5pt] &=& -\log_{10}2 +1\\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} \log_{10}15 &=& \log_{10}5\cdot 3 \\[5pt] &=& \log_{10}5 +\log_{10}3 \\[5pt] &=& -\log_{10}2 +\log_{10}3 +1\\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ア:1
イウ:-1
エオ:-1

解答編 つづき

(2) 太郎さんと花子さんは、 $15^{20}$ について話している。

 以下では、 $\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$ とする。

  • $15^{20}$ は何桁の数だろう。
  • $15$ の $20$ 乗を求めるのは大変だね。 $\log_{10}15^{20}$ の整数部分に着目してみようよ。

 $\log_{10}15^{20}$ は\[ \myBox{カキ}\lt \log_{10}15^{20}\lt\mybox{カキ} +1 \]を満たす。よって、 $15^{20}$ は $\myBox{クケ}$ 桁の数である。

解説

\begin{eqnarray} \log_{10} 15^{20} &=& 20\log_{10} 15 \\[5pt] &=& 20(-\log_{10}2 +\log_{10}3 +1) \\[5pt] &=& 20(-0.3010 +0.4771 +1) \\[5pt] &=& 20\times 1.1761 \\[5pt] &=& 23.522 \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、\[ 23\lt \log_{10}15^{20}\lt 23+1 \]が成り立ちます。

これより、\[ 10^{23}\lt 15^{20}\lt 10^{24} \]が成り立ちます。 $10^{23}$ は 24 桁の数、 $10^{24}$ は 25 桁の数なので、 $15^{20}$ は 24 桁の数だとわかります。

解答

カキ:23
クケ:24

解答編 つづき

  • $15^{20}$ の最高位の数字も知りたいね。だけど、 $\log_{10}15^{20}$ の整数部分にだけ着目してもわからないな。
  • $N\cdot10^{\mybox{カキ} }\lt 15^{20}\lt(N + 1)\cdot 10^{\mybox{カキ} }$ を満たすような正の整数 $N$ に着目してみたらどうかな。

 $\log_{10}15^{20}$ の小数部分は $\log_{10}15^{20}-\mybox{カキ}$ であり\[ \log_{10}\myBox{コ}\lt \log_{10}15^{20}-\mybox{カキ}\lt \log_{10}\left(\mybox{コ}+1\right) \]が成り立つので、 $15^{20}$ の最高位の数字は $\myBox{サ}$ である。

解説

$\log_{10}15^{20}$ は $23.522$ なので、小数部分は $0.522$ です。

これは $\log_{10}3=0.4771$ より大きく、 $\log_{10}4=2\log_{10}2=0.6020$ より小さいため、 $15^{20}$ は、 $3\cdot 10^{23}$ より大きく $4\cdot 10^{23}$ より小さいことがわかります。なので、最高位の数字は $3$ です。

解答

コ:3
サ:3

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