共通テスト 数学II・数学B 2021年度追試 第3問 解説

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

(正規分布表は省略しています)

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}\def\dBox#1{\bbox[4px, border: 2px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ \bf{ #1 }\ } }}\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ #1\ } }}$以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて33ページの正規分布表を用いてもよい。

 ある大学には、多くの留学生が在籍している。この大学の留学生に対して学習や生活を支援する留学生センターでは、留学生の日本語の学習状況について関心を寄せている。

(1) この大学では、留学生に対する授業として、以下に示す三つの日本語学習コースがある。

 初級コース:1週間に10時間の日本語の授業を行う
 中級コース:1週間に8時間の日本語の授業を行う
 上級コース:1週間に6時間の日本語の授業を行う

 すべての留学生が三つのコースのうち、いずれか一つのコースのみに登録することになっている。留学生全体における各コースに登録した留学生の割合は、それぞれ

 初級コース:20%、中級コース:35%、上級コース: $\myBox{アイ}$ %

であった。ただし、数値はすべて正確な値であり、四捨五入されていないものとする。

 この留学生の集団において、一人を無作為に抽出したとき、その留学生が1週間に受講する日本語学習コースの授業の時間数を表す確率変数を $X$ とする。 $X$ の平均(期待値)は $\dfrac{\myBox{ウエ}}{2}$ であり、 $X$ の分散は $\dfrac{\myBox{オカ}}{20}$ である。


 次に、留学生全体を母集団とし、 $a$ 人を無作為に抽出したとき、初級コースに登録した人数を表す確率変数を $Y$ とすると、 $Y$ は二項分布に従う。このとき、 $Y$ の平均 $E(Y)$ は\[ E(Y)=\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}} \]である。

 また、上級コースに登録した人数を表す確率変数を $Z$ とすると、 $Z$ は二項分布に従う。 $Y$, $Z$ の標準偏差をそれぞれ $\sigma(Y)$, $\sigma(Z)$ とすると\[ \dfrac{\sigma(Z)}{\sigma(Y)}=\dfrac{\myBox{ケ}\sqrt{\myBox{コサ}}}{\myBox{シ}} \]である。

 ここで、 $a=100$ としたとき、無作為に抽出された留学生のうち、初級コースに登録した留学生が28人以上となる確率を $p$ とする。 $a=100$ は十分大きいので、 $Y$ は近似的に正規分布に従う。このことを用いて $p$ の近似値を求めると、 $p=\dBox{ス}$ である。

$\dbox{ス}$ については、最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: 0.002
 1: 0.023
 2: 0.228
 3: 0.477
 4: 0.480
 5: 0.977

(2) 40人の留学生を無作為に抽出し、ある1週間における留学生の日本語学習コース以外の日本語の学習時間(分)を調査した。ただし、日本語の学習時間は母平均 $m$ 、母分散 $\sigma^2$ の分布に従うものとする。

 母分散 $\sigma^2$ を $640$ と仮定すると、標本平均の標準偏差は $\myBox{セ}$ となる。調査の結果、40人の学習時間の平均値は $120$ であった。標本平均が近似的に正規分布に従うとして、母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を $C_1\leqq m \leqq C_2$ とすると
\begin{eqnarray}
C_1 &=& \myBox{ソタチ}\ .\ \myBox{ツテ} \\[5pt] C_2 &=& \myBox{トナニ}\ .\ \myBox{ヌネ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

(3) (2)の調査とは別に、日本語の学習時間を再度調査することになった。そこで、50人の留学生を無作為に抽出し、調査した結果、学習時間の平均値は $120$ であった。

 母分散 $\sigma^2$ を $640$ と仮定したとき、母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を $D_1\leqq m \leqq D_2$ とすると、 $\dBox{ノ}$ が成り立つ。

 一方、母分散 $\sigma^2$ を $960$ と仮定したとき、母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を $E_1\leqq m \leqq E_2$ とする。このとき、 $D_2-D_1=E_2-E_1$ となるためには、標本の大きさを $50$ の $\myBox{ハ}\ . \ \myBox{ヒ}$ 倍にする必要がある。

$\dbox{ノ}$ の解答群

 0: $D_1\lt C_1$ かつ $D_2\lt C_2$
 1: $D_1\lt C_1$ かつ $D_2\gt C_2$
 2: $D_1\gt C_1$ かつ $D_2\lt C_2$
 3: $D_1\gt C_1$ かつ $D_2\gt C_2$

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(2021年09月 時点の情報です)

考え方

二項分布の計算、正規分布表を使った計算、信頼区間の出し方など、標準的な問題が並んでいます。単純に計算して求めるだけでなく、「この値を変化させるとどうなるか」を考えさせる問題もありますが、求め方がわかっていれば対応できるでしょう。

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