共通テスト 数学II・数学B 2021年度追試 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}\def\dBox#1{\bbox[4px, border: 2px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ \bf{ #1 }\ } }}\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ #1\ } }}$$a$ を実数とし、 $f(x)=(x-a)(x-2)$ とおく。また、 $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)dt$ とする。

(1) $a=1$ のとき、 $F(x)$ は $x=\myBox{ア}$ で極小になる。

(2) $a=\myBox{イ}$ のとき、 $F(x)$ はつねに増加する。また、 $F(0)=\myBox{ウ}$ であるから、 $a=\mybox{イ}$ のとき、 $F(2)$ の値は $\dBox{エ}$ である。

$\dbox{エ}$ の解答群

 0: $0$
 1: 正
 2: 負

(3) $a\gt\mybox{イ}$ とする。

 $b$ を実数とし、 $\displaystyle G(x)=\int_b^x f(t)dt$ とおく。

 関数 $y=G(x)$ のグラフは、 $y=F(x)$ のグラフを $\dBox{オ}$ 方向に $\dBox{カ}$ だけ平行移動したものと一致する。また、 $G(x)$ は $x=\myBox{キ}$ で極大になり、 $x=\myBox{ク}$ で極小になる。

 $G(b)=\myBox{ケ}$ であるから、 $b=\mybox{キ}$ のとき、曲線 $y=G(x)$ と $x$ 軸との共有点の個数は $\myBox{コ}$ 個である。

$\dbox{オ}$ の解答群

 0: $x$ 軸
 1: $y$ 軸

$\dbox{カ}$ の解答群

 0: $b$
 1: $-b$
 2: $F(b)$
 3: $-F(b)$
 4: $F(-b)$
 5: $-F(-b)$

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(2020年10月 時点の情報です)

考え方

抽象的な内容で話が進んでいくため、慣れていないと考えづらい人もいるかもしれません。一方、微分と積分の関係がわかっていれば、ほとんど計算することなく進められます。

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