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共通テスト 数学II・数学B 2021年度追試 第2問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 $a$ を実数とし、 $f(x)=(x-a)(x-2)$ とおく。また、 $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)dt$ とする。

(1) $a=1$ のとき、 $F(x)$ は $x=\myBox{ア}$ で極小になる。

(2) $a=\myBox{イ}$ のとき、 $F(x)$ はつねに増加する。また、 $F(0)=\myBox{ウ}$ であるから、 $a=\mybox{イ}$ のとき、 $F(2)$ の値は $\dBox{エ}$ である。

$\dbox{エ}$ の解答群

 0: $0$
 1: 正
 2: 負

(3) $a\gt\mybox{イ}$ とする。

 $b$ を実数とし、 $\displaystyle G(x)=\int_b^x f(t)dt$ とおく。

 関数 $y=G(x)$ のグラフは、 $y=F(x)$ のグラフを $\dBox{オ}$ 方向に $\dBox{カ}$ だけ平行移動したものと一致する。また、 $G(x)$ は $x=\myBox{キ}$ で極大になり、 $x=\myBox{ク}$ で極小になる。

 $G(b)=\myBox{ケ}$ であるから、 $b=\mybox{キ}$ のとき、曲線 $y=G(x)$ と $x$ 軸との共有点の個数は $\myBox{コ}$ 個である。

$\dbox{オ}$ の解答群

 0: $x$ 軸
 1: $y$ 軸

$\dbox{カ}$ の解答群

 0: $b$
 1: $-b$
 2: $F(b)$
 3: $-F(b)$
 4: $F(-b)$
 5: $-F(-b)$

考え方

抽象的な内容で話が進んでいくため、慣れていないと考えづらい人もいるかもしれません。一方、微分と積分の関係がわかっていれば、ほとんど計算することなく進められます。


解答編

問題

 $a$ を実数とし、 $f(x)=(x-a)(x-2)$ とおく。また、 $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)dt$ とする。

(1) $a=1$ のとき、 $F(x)$ は $x=\myBox{ア}$ で極小になる。

解説

微分積分学の基本定理(参考:【基本】定積分と微分の関係)より、 $F'(x)=f(x)$ なので、 $F'(x)=0$ とすると $x=1,2$ です。増減表をかくと次のようになります。

\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 1 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline F'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline F(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}これより、 $x=2$ で極小となることがわかります。

解答

ア:2

解答編 つづき

(2) $a=\myBox{イ}$ のとき、 $F(x)$ はつねに増加する。また、 $F(0)=\myBox{ウ}$ であるから、 $a=\mybox{イ}$ のとき、 $F(2)$ の値は $\dBox{エ}$ である。

$\dbox{エ}$ の解答群

 0: $0$
 1: 正
 2: 負

解説

$F'(x)=f(x)=(x-a)(x-2)$ であり、 $F'(x)$ がつねに $0$ 以上のときに $F(x)$ はつねに増加するから、 $a=2$ のときにつねに増加することがわかります。

$\displaystyle F(0)=\int_0^0 f(t)dt=0$ です。 $a=2$ のとき、 $F(x)$ はつねに増加するため、 $F(2)\gt F(0)=0$ となることから、 $F(2)$ は正であるとわかります。

解答

イ:2
ウ:0
エ:1

解答編 つづき

(3) $a\gt\mybox{イ}$ とする。

 $b$ を実数とし、 $\displaystyle G(x)=\int_b^x f(t)dt$ とおく。

 関数 $y=G(x)$ のグラフは、 $y=F(x)$ のグラフを $\dBox{オ}$ 方向に $\dBox{カ}$ だけ平行移動したものと一致する。また、 $G(x)$ は $x=\myBox{キ}$ で極大になり、 $x=\myBox{ク}$ で極小になる。

 $G(b)=\myBox{ケ}$ であるから、 $b=\mybox{キ}$ のとき、曲線 $y=G(x)$ と $x$ 軸との共有点の個数は $\myBox{コ}$ 個である。

$\dbox{オ}$ の解答群

 0: $x$ 軸
 1: $y$ 軸

$\dbox{カ}$ の解答群

 0: $b$
 1: $-b$
 2: $F(b)$
 3: $-F(b)$
 4: $F(-b)$
 5: $-F(-b)$

解説

\begin{eqnarray} G(x) &=& \int_b^x f(t) dt \\[5pt] &=& \int_0^x f(t) dt+\int_b^0 f(t) dt \\[5pt] &=& \int_0^x f(t) dt-\int_0^b f(t) dt \\[5pt] &=& F(x)-F(b) \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $y=G(x)$ のグラフは $y=F(x)$ のグラフを $y$ 軸方向に $-F(b)$ だけ平行移動したものと一致します。

$G'(x)=f(x)$ なので、 $G'(x)=0$ とすると $x=2,a$ です。今、 $a\gt 2$ の場合を考えているので、増減表は次のようになります。

\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 2 & \cdots & a & \cdots \\ \hline G'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline G(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}これより、 $x=2$ で極大となり、 $x=a$ で極小になることがわかります。

$\displaystyle G(b)=\int_b^b f(t)dt=0$ です。 $b=2$ のときに、曲線 $y=G(x)$ と $x$ 軸との共有点を考えます。増減表より、 $x\lt 2$ のときは $G(x)\lt G(2)=0$ なので、つねに負です。 $G(2)=0$ であり、 $2\lt x \lt a$ の間はつねに負です。 $x\gt a$ のとき、つねに増え続けます。 $x$ をどんどん大きくしていくと $G(x)$ は限りなく大きくなっていくため、いつかは正の値をとるようになります。よって、この範囲で $x$ 軸と1回だけ交わります。

以上から、 $x=2$ のときに共有点をもち、 $x\gt a$ の範囲で1点共有点を持つので、ぜんぶで共有点の個数は2個だとわかります。

解答

オ:1
カ:3
キ:2
ク:a
ケ:0
コ:2

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