共通テスト 数学I・数学A 2021年度追試 第5問 解説

【第3問～第5問から2問選択】

問題編

問題

　$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}\def\dBox#1{\bbox[4px, border: 2px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ \bf{ #1 }\ } }}\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ #1\ } }}$点 Z を端点とする半直線 ZX と半直線 ZY があり、 $0^{\circ}\lt \angle \mathrm{ XZY }\lt 90^{\circ}$ とする。また、 $0^{\circ}\lt\angle \mathrm{ SZX }\lt\angle \mathrm{ XZY }$ かつ $0^{\circ}\lt\angle \mathrm{ SZY }\lt\angle \mathrm{ XZY }$ を満たす点 S をとる。点 S を通り、半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円を作図したい。

　円 O を、次の(Step 1)～(Step 5)の手順で作図する。

手順

(Step 1)　$\angle \mathrm{ XZY }$ の二等分線 $\ell$ 上に点 C をとり、下図のように半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円 C を作図する。また、円 C と半直線 ZX との接点を D 、半直線 ZY との接点を E とする。

(Step 2)　円 C と直線 ZS との交点の一つを G とする。

(Step 3)　半直線 ZX 上に点 H を $\mathrm{ DG }/\!/\mathrm{ HS }$ を満たすようにとる。

(Step 4)　点 H を通り、半直線 ZX に垂直な直線を引き、 $\ell$ との交点を O とする。

(Step 5)　点 O を中心とする半径 OH の円 O をかく。

(1) (Step 1)～(Step 5)の手順で作図した円 O が求める円であることは、次の構想に基づいて下のように説明できる。

構想

円 O が点 S を通り、半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円であることを示すには、 $\mathrm{ OH }=\dBox{ア}$ が成り立つことを示せばよい。

　作図の手順より、 $\triangle \mathrm{ ZDG }$ と $\triangle \mathrm{ ZHS }$ との関係、および $\triangle \mathrm{ ZDC }$ と $\triangle \mathrm{ ZHO }$ との関係に着目すると
\begin{eqnarray}
\mathrm{ DG }\ :\ \dBox{イ} &=& \dBox{ウ} \ : \ \dBox{エ} \\[5pt] \mathrm{ DC }\ :\ \dBox{オ} &=& \dbox{ウ} \ : \ \dbox{エ} \\[5pt] \end{eqnarray}であるから、 $\mathrm{ DG }\ :\ \dbox{イ}\ = \ \mathrm{ DC }\ : \ \dbox{オ}$ となる。

　ここで、3点 S, O, H が一直線上にない場合は、 $\angle \mathrm{ CDG }=\angle \ \dBox{カ}$ であるので、 $\triangle \mathrm{ CDG }$ と $\triangle \ \dbox{カ}$ との関係に着目すると、 $\mathrm{ CD=CG }$ より $\mathrm{ OH }=\dbox{ア}$ であることがわかる。

　なお、3点 S, O, H が一直線上にある場合は、 $\mathrm{ DG }=\myBox{キ} \mathrm{ DC }$ となり、 $\mathrm{ DG }\ : \ \dbox{イ}\ = \ \mathrm{ DC }\ :\ \dbox{オ}$ より $\mathrm{ OH }=\dbox{ア}$ であることがわかる。

$\dbox{ア}$ ～ $\dbox{オ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

 

　0: $\mathrm{ DH }$
　1: $\mathrm{ HO }$
　2: $\mathrm{ HS }$
　3: $\mathrm{ OD }$
　4: $\mathrm{ OG }$
　5: $\mathrm{ OS }$
　6: $\mathrm{ ZD }$
　7: $\mathrm{ ZH }$
　8: $\mathrm{ ZO }$
　9: $\mathrm{ ZS }$

 

$\dbox{カ}$ の解答群

　0: $\mathrm{ OHD }$
　1: $\mathrm{ OHG }$
　2: $\mathrm{ OHS }$
　3: $\mathrm{ ZDS }$
　4: $\mathrm{ ZHG }$
　5: $\mathrm{ ZHS }$
　6: $\mathrm{ ZOS }$
　7: $\mathrm{ ZCG }$

 

(2) 点 S を通り、半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円は二つ作図できる。特に、点 S が $\angle \mathrm{ XZY }$ の二等分線 $\ell$ 上にある場合を考える。半径が大きい方の円の中心を $\mathrm{ O }_1$ とし、半径が小さい方の円の中心を $\mathrm{ O }_2$ とする。また、円 $\mathrm{ O }_2$ と半直線 ZY が接する点を I とする。円 $\mathrm{ O }_1$ と半直線 ZY が接する点を J とし、円 $\mathrm{ O }_1$ と半直線 ZX が接する点を K とする。

　作図をした結果、円 $\mathrm{ O }_1$ の半径は $5$ 、円 $\mathrm{ O }_2$ の半径は $3$ であったとする。このとき、 $\mathrm{ IJ }=\myBox{ク}\sqrt{\myBox{ケコ}}$ である。さらに、円 $\mathrm{ O }_1$ と円 $\mathrm{ O }_2$ の接点 S における共通接線と半直線 ZY との交点を L とし、直線 LK と円 $\mathrm{ O }_1$ との交点で点 K とは異なる点を M とすると\[ \mathrm{ LM\cdot LK }=\myBox{サシ} \]である。

　また、 $\mathrm{ ZI }=\myBox{ス}\sqrt{\myBox{セソ}}$ であるので、直線 LK と直線 $\ell$ との交点を N とすると\[ \dfrac{\mathrm{ LN }}{\mathrm{ NK }} =\dfrac{\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\ ,\ \mathrm{ SN } =\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テ}} \]である。

考え方

前半は作図を扱っていて珍しい内容です。ただ、聞かれていることは、なぜこの作図の方法が正しいかであり、証明の穴埋めのような問題になっています。掃除などの図形の性質を用いて答えていきます。「 S, O, H が一直線上にある場合」は、そもそもどういう場合なのかがわかりづらいですが、これが成り立つときに図がどのようになっていないといけないかを考えると、少し状況がわかりやすくなるかもしれません。

(2)は設定は共通していますが、使う道具はかなり変わります。頭を切り替えて考えていきましょう。接線、円、角の二等分線など使える条件がたくさんあるため、適切な条件を選ぶのが大変です。よく練習しておかないと難しいです。