(2) 点 S を通り、半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円は二つ作図できる。特に、点 S が $\angle \mathrm{ XZY }$ の二等分線 $\ell$ 上にある場合を考える。半径が大きい方の円の中心を $\mathrm{ O }_1$ とし、半径が小さい方の円の中心を $\mathrm{ O }_2$ とする。また、円 $\mathrm{ O }_2$ と半直線 ZY が接する点を I とする。円 $\mathrm{ O }_1$ と半直線 ZY が接する点を J とし、円 $\mathrm{ O }_1$ と半直線 ZX が接する点を K とする。
作図をした結果、円 $\mathrm{ O }_1$ の半径は $5$ 、円 $\mathrm{ O }_2$ の半径は $3$ であったとする。このとき、 $\mathrm{ IJ }=\myBox{ク}\sqrt{\myBox{ケコ}}$ である。さらに、円 $\mathrm{ O }_1$ と円 $\mathrm{ O }_2$ の接点 S における共通接線と半直線 ZY との交点を L とし、直線 LK と円 $\mathrm{ O }_1$ との交点で点 K とは異なる点を M とすると\[ \mathrm{ LM\cdot LK }=\myBox{サシ} \]である。
また、 $\mathrm{ ZI }=\myBox{ス}\sqrt{\myBox{セソ}}$ であるので、直線 LK と直線 $\ell$ との交点を N とすると\[ \dfrac{\mathrm{ LN }}{\mathrm{ NK }} =\dfrac{\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\ ,\ \mathrm{ SN } =\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テ}} \]である。
前半は作図を扱っていて珍しい内容です。ただ、聞かれていることは、なぜこの作図の方法が正しいかであり、証明の穴埋めのような問題になっています。掃除などの図形の性質を用いて答えていきます。「 S, O, H が一直線上にある場合」は、そもそもどういう場合なのかがわかりづらいですが、これが成り立つときに図がどのようになっていないといけないかを考えると、少し状況がわかりやすくなるかもしれません。
特に、私立大に出題が多い小問集合が確実にクリアできる力がつきます。