共通テスト 数学I・数学A 2021年度追試 第4問 解説

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}\def\dBox#1{\bbox[4px, border: 2px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ \bf{ #1 }\ } }}\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ #1\ } }}$正の整数 $m$ に対して\[ a^2+b^2+c^2+d^2=m,\ a\geqq b\geqq c \geqq d\geqq 0 \ \cdots① \]を満たす整数 $a,b,c,d$ の組がいくつあるかを考える。

(1) $m=14$ のとき、①を満たす整数 $a,b,c,d$ の組 $(a,b,c,d)$ は\[ \left(\myBox{ア},\ \myBox{イ},\ \myBox{ウ},\ \myBox{エ}\right) \]のただ一つである。

 また、 $m=28$ のとき、①を満たす整数 $a,b,c,d$ の組の個数は $\myBox{オ}$ 個である。

(2) $a$ が奇数のとき、整数 $n$ を用いて $a=2n+1$ と表すことができる。このとき、 $n(n+1)$ は偶数であるから、次の条件がすべての奇数 $a$ で成り立つような正の整数 $h$ のうち、最大のものは $h=\myBox{カ}$ である。

 

  条件: $a^2-1$ は $h$ の倍数である。

 

よって、 $a$ が奇数のとき、 $a^2$ を $\mybox{カ}$ で割ったときの余りは $1$ である。

 また、 $a$ が偶数のとき、 $a^2$ を $\mybox{カ}$ で割ったときの余りは、 $0$ または $4$ のいずれかである。

(3) (2)により $a^2+b^2+c^2+d^2$ が $\mybox{カ}$ の倍数ならば、整数 $a,b,c,d$ のうち、偶数であるものの個数は $\myBox{キ}$ 個である。

(4) (3) を用いることにより、 $m$ が $\mybox{カ}$ の倍数であるとき、①を満たす整数 $a,b,c,d$ が求めやすくなる。

 例えば、 $m=224$ のとき、①を満たす整数 $a,b,c,d$ の組 $(a,b,c,d)$ は\[ \left(\myBox{クケ},\ \myBox{コ},\ \myBox{サ},\ \myBox{シ}\right) \]のただ一つであることがわかる。

(5) $7$ の倍数で $896$ の約数である正の整数 $m$ のうち、①を満たす整数 $a,b,c,d$ の組の個数が $\mybox{オ}$ 個であるものの個数は $\myBox{ス}$ 個であり、そのうち最大のものは $m=\myBox{セソタ}$ である。

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(2020年09月 時点の情報です)

考え方

約数・倍数の性質を使って、整数解を求めていく問題です。この問題にあるような手法は、整数問題を解くときにはよく使われるものですが、触れたことがない人には少し難しい流れかもしれません。

そもそも、高校の整数の分野で学ぶ項目がほとんどないため、応用問題としての要素が強いです。

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