共通テスト 数学I・数学A 2021年度追試 第1問 [1] 解説
【必答問題】
問題編
問題
$a,b$ を定数とするとき、 $x$ についての不等式\[ |ax-b-7|\lt 3\quad\cdots ① \]を考える。
(1) $a=-3$, $b=-2$ とする。①を満たす整数全体の集合を $P$ とする。この集合 $P$ を、要素を書き並べて表すと\[ P=\left\{\myBox{アイ},\ \myBox{ウエ}\right\} \]となる。ただし、 $\mybox{アイ}$, $\mybox{ウエ}$ の解答の順序は問わない。
(2) $a=\dfrac{1}{\sqrt{2} }$ とする。
(i) $b=1$ のとき、①を満たす整数は全部で $\myBox{オ}$ 個である。
(ii) ①を満たす整数が全部で $\left(\mybox{オ}+1\right)$ 個であるような正の整数 $b$ のうち、最小のものは $\myBox{カ}$ である。
考え方
(1)では集合の形で聞かれていますが、特に意識することはありません。(2)では、ルートのついた計算です。整数部分を正しく計算できれば問題ありません。最後の問題は1つ1つ確かめていくしかありませんが、チェック方法を簡略化しないと、チェックに時間がかかってしまうので注意しましょう。
【必答問題】
解答編
問題
$a,b$ を定数とするとき、 $x$ についての不等式\[ |ax-b-7|\lt 3\quad\cdots ① \]を考える。
(1) $a=-3$, $b=-2$ とする。①を満たす整数全体の集合を $P$ とする。この集合 $P$ を、要素を書き並べて表すと\[ P=\left\{\myBox{アイ},\ \myBox{ウエ}\right\} \]となる。ただし、 $\mybox{アイ}$, $\mybox{ウエ}$ の解答の順序は問わない。
解説
$a=-3$, $b=-2$ を代入すると
\begin{eqnarray}
& & |-3x-(-2)-7| \lt 3 \\[5pt]
& & |3x+5| \lt 3 \\[5pt]
& & -3\lt 3x+5 \lt 3 \\[5pt]
& & -\frac{8}{3}\lt x \lt -\frac{2}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。これより、この不等式を満たす $x$ は $-2$ と $-1$ となります。
解答
アイ・ウエ：-2・-1
解答編 つづき
(2) $a=\dfrac{1}{\sqrt{2} }$ とする。
(i) $b=1$ のとき、①を満たす整数は全部で $\myBox{オ}$ 個である。
解説
$a=\dfrac{1}{\sqrt{2} }$, $b=1$ とすると
\begin{eqnarray}
& & \left|\frac{x}{\sqrt{2} }-1-7\right| \lt 3 \\[5pt]
& & |x-8\sqrt{2}| \lt 3\sqrt{2} \\[5pt]
& & -3\sqrt{2} \lt x-8\sqrt{2} \lt 3\sqrt{2} \\[5pt]
& & 5\sqrt{2} \lt x \lt 11\sqrt{2} \\[5pt]
& & \sqrt{50} \lt x \lt \sqrt{242} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。これを満たす整数 $x$ は $8$ から $15$ までの整数なので、 $8$ 個となります。
解答
オ：8
解答編 つづき
(ii) ①を満たす整数が全部で $\left(\mybox{オ}+1\right)$ 個であるような正の整数 $b$ のうち、最小のものは $\myBox{カ}$ である。
解説
\begin{eqnarray} & & \left|\frac{x}{\sqrt{2} }-b-7\right| \lt 3 \\[5pt] & & |x-(b+7)\sqrt{2}| \lt 3\sqrt{2} \\[5pt] & & -3\sqrt{2} \lt x-(b+7)\sqrt{2} \lt 3\sqrt{2} \\[5pt] & & (b+4)\sqrt{2} \lt x \lt (b+10)\sqrt{2} \\[5pt] & & \sqrt{2(b+4)^2} \lt x \lt \sqrt{2(b+10)^2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。この不等式を満たす整数が $9$ 個になるもののうち、最小の正の整数 $b$ を考えます。$b=1$ のときは (i) で見たように $8$ 個です。 $b=2$ のときは\[ \sqrt{72}\lt x\lt \sqrt{288} \]なので、 $9$ から $16$ までの $8$ 個なのでダメです。
$b=3$ のときは\[ \sqrt{98}\lt x\lt \sqrt{338} \]なので、 $10$ から $18$ までの $9$ 個です。これが答えだとわかります。
解答
カ：3
