共通テスト 数学I・数学A 2021年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$c$ を正の整数とする。 $x$ の2次方程式\[ 2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0 \quad \cdots ① \]について考える。

(1) $c=1$ のとき、①の左辺を因数分解すると\[ \left(\myBox{ア}x+\myBox{イ}\right)\left(x-\myBox{ウ}\right) \]であるから、①の解は\[ x=-\frac{\mybox{イ}}{\mybox{ア}},\ \mybox{ウ} \]である。

(2) $c=2$ のとき、①の解は\[x=\frac{-\myBox{エ}\pm\sqrt{\myBox{オカ}}}{\myBox{キ}}\]であり、大きい方の解を $\alpha$ とすると\[ \frac{5}{\alpha}=\frac{\myBox{ク}+\sqrt{\myBox{ケコ}}}{\myBox{サ}} \]である。また、 $m\lt \dfrac{5}{\alpha} \lt m+1$ を満たす整数 $m$ は $\myBox{シ}$ である。

(3) 太郎さんと花子さんは、①の解について考察している。

太郎:①の解は $c$ の値によって、ともに有理数である場合もあれば、ともに無理数である場合もあるね。 $c$ がどのような値のときに、解は有理数になるのかな。

花子:2次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。

 ①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数 $c$ の個数は $\myBox{ス}$ 個である。

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考え方

(2)の後半で、 $m$ が何を表しているかわかりづらいかもしれません。具体例で考えると、 $m=1$ なら $\dfrac{5}{\alpha}$ が $1$ と $2$ の間にあることを示しています。つまり、 $m$ は整数部分に対応していると考えられます。

(3)は花子さんの発言をヒントに考えていきましょう。

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