共通テスト数学I・数学A 2021年度第1問 [2] 解説

🕒 2021/01/17 🔄 2023/05/03

【必答問題】

問題編

問題

　右の図のように、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外側に辺 AB, BC, CA をそれぞれ1辺とする正方形 ADEB, BFGC, CHIA をかき、2点 E と F、G と H、I と D をそれぞれ線分で結んだ図形を考える。

以下において
\begin{eqnarray} & & \mathrm{ BC }=a, \ \mathrm{ CA }=b, \ \mathrm{ AB }=c \\[5pt] & & \angle \mathrm{ CAB }=A,\ \angle \mathrm{ ABC }=B,\ \angle \mathrm{ BCA }=C \end{eqnarray}とする。
(1) $b=6, c=5, \cos A=\dfrac{3}{5}$ のとき、 $\sin A=\dfrac{\myBox{セ} }{\myBox{ソ} }$ であり、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の面積は $\myBox{タチ}$ 、$\triangle \mathrm{ AID }$ の面積は $\myBox{ツテ}$ である。

(2) 正方形 BFGC, CHIA, ADEB の面積をそれぞれ $S_1,S_2,S_3$ とする。このとき、 $S_1-S_2-S_3$ は

$0^{\circ}\lt A\lt 90^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ト}$。

$A=90^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ナ}$。

$90^{\circ}\lt A\lt 180^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ニ}$。

$\mybox{ト}$ ～ $\mybox{ニ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: 0である
　1: 正の値である
　2: 負の値である
　3: 正の値も負の値もとる

(3) $\triangle \mathrm{ AID }, \triangle \mathrm{ BEF}, \triangle \mathrm{ CGH }$ の面積をそれぞれ $T_1, T_2, T_3$ とする。このとき、 $\myBox{ヌ}$ である。

$\mybox{ヌ}$ の解答群

　0: $a\lt b\lt c$ ならば $T_1\gt T_2 \gt T_3$
　1: $a\lt b\lt c$ ならば $T_1\lt T_2 \lt T_3$
　2: $A$ が鈍角ならば、 $T_1\lt T_2$ かつ $T_1\lt T_3$
　3: $a,b,c$ の値に関係なく、 $T_1=T_2=T_3$

(4) $\triangle \mathrm{ ABC }$, $\triangle \mathrm{ AID }$, $\triangle \mathrm{ BEF }$, $\triangle \mathrm{ CGH }$ のうち、外接円の半径が最も小さいものを求める。

　$0^{\circ}\lt A\lt 90^{\circ}$ のとき、 $\mathrm{ ID }$ $\myBox{ネ}$ $\mathrm{ BC }$ であり

　($\triangle \mathrm{ AID }$ の外接円の半径) $\myBox{ノ}$ ($\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円の半径)

であるから、外接円の半径が最も小さい三角形は

$0^{\circ}\lt A\lt B \lt C \lt 90^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ハ}$ である。

$0^{\circ}\lt A\lt B \lt 90^{\circ} \lt C$ のとき、 $\myBox{ヒ}$ である。

$\mybox{ネ}, \mybox{ノ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $\lt$
　1: $=$
　2: $\gt$

$\mybox{ハ}, \mybox{ヒ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $\triangle \mathrm{ ABC }$
　1: $\triangle \mathrm{ AID }$
　2: $\triangle \mathrm{ BEF }$
　3: $\triangle \mathrm{ CGH }$

考え方

ほとんど計算はないですが、図形から情報を読み取り、補角の公式、余弦定理、正弦定理を応用して考えないといけません。

(2)は、 $a,b,c$ で表してみたほうがわかりやすいかもしれません。(3)は、(1)をヒントに考えましょう。(4)は、向かい合う角を利用して、外接円の半径との関係性を考えましょう。

解答編

問題

　右の図のように、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外側に辺 AB, BC, CA をそれぞれ1辺とする正方形 ADEB, BFGC, CHIA をかき、2点 E と F、G と H、I と D をそれぞれ線分で結んだ図形を考える。

以下において
\begin{eqnarray} & & \mathrm{ BC }=a, \ \mathrm{ CA }=b, \ \mathrm{ AB }=c \\[5pt] & & \angle \mathrm{ CAB }=A,\ \angle \mathrm{ ABC }=B,\ \angle \mathrm{ BCA }=C \end{eqnarray}とする。
(1) $b=6, c=5, \cos A=\dfrac{3}{5}$ のとき、 $\sin A=\dfrac{\myBox{セ} }{\myBox{ソ} }$ であり、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の面積は $\myBox{タチ}$ 、$\triangle \mathrm{ AID }$ の面積は $\myBox{ツテ}$ である。

解説

三角比の相互関係から \[\sin^2 A=1-\cos^2 A=\frac{16}{25}\]なので、 $\sin A=\dfrac{4}{5}$ です。

これより、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の面積は
\begin{eqnarray} \frac{bc}{2}\sin A=\frac{6\cdot 5}{2}\cdot \frac{4}{5}=12 \end{eqnarray}と求められます。

$\triangle \mathrm{ AID }$ の面積は、 $\mathrm{ AI }=b=6$, $\mathrm{ AD }=c=5$ と $\angle \mathrm{ DAI }=180^{\circ}-A$ より
\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{ AI }\cdot\mathrm{ AD } }{2}\sin (180^{\circ}-A)=\frac{bc}{2}\sin A=12 \end{eqnarray}と求められます。ここでは、補角の公式、つまり、 $\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$ となることを使っています。（参考：【基本】補角の三角比）

解答

セソ：45
タチ：12
ツテ：12

解答編つづき

(2) 正方形 BFGC, CHIA, ADEB の面積をそれぞれ $S_1,S_2,S_3$ とする。このとき、 $S_1-S_2-S_3$ は

$0^{\circ}\lt A\lt 90^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ト}$。

$A=90^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ナ}$。

$90^{\circ}\lt A\lt 180^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ニ}$。

$\mybox{ト}$ ～ $\mybox{ニ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: 0である
　1: 正の値である
　2: 負の値である
　3: 正の値も負の値もとる

解説

$S_1$, $S_2$, $S_3$ は、それぞれ、 $a^2$, $b^2$, $c^2$ と書けます。なので、 $S_1-S_2-S_3$ は、 $a^2-b^2-c^2$ のことです。

余弦定理より、 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ が成り立つので、 $a^2-b^2-c^2$ とは $-2bc\cos A$ のことです。

以上から、 $0^{\circ}\lt A\lt 90^{\circ}$ のときは、 $\cos A$ は正なので、 $-2bc\cos A$ は負となります。

$A=90^{\circ}$ のときは $-2bc\cos A$ は $0$ となり、鈍角のときは正となります。

解答

ト：2
ナ：0
ニ：1

解答編つづき

(3) $\triangle \mathrm{ AID }, \triangle \mathrm{ BEF}, \triangle \mathrm{ CGH }$ の面積をそれぞれ $T_1, T_2, T_3$ とする。このとき、 $\myBox{ヌ}$ である。

$\mybox{ヌ}$ の解答群

　0: $a\lt b\lt c$ ならば $T_1\gt T_2 \gt T_3$
　1: $a\lt b\lt c$ ならば $T_1\lt T_2 \lt T_3$
　2: $A$ が鈍角ならば、 $T_1\lt T_2$ かつ $T_1\lt T_3$
　3: $a,b,c$ の値に関係なく、 $T_1=T_2=T_3$

解説

$\triangle \mathrm{ AID }$ の面積は、 $\dfrac{\mathrm{ AI }\cdot \mathrm{ AD } }{2}\sin \angle \mathrm{ DAI }$ となりますが、これは(1)で見たように、 $\dfrac{bc}{2}\sin A$ と等しくなります。

同じように計算すると、 $\triangle \mathrm{BEF}$ の面積は $\dfrac{\mathrm{ BE }\cdot \mathrm{ BF } }{2}\sin \angle \mathrm{ EBF }$ となりますが、これは $\dfrac{ca}{2}\sin B$ と等しくなります。

また、 $\triangle \mathrm{CGH}$ の面積は $\dfrac{\mathrm{ CG }\cdot \mathrm{ CH } }{2}\sin \angle \mathrm{ GCH }$ となりますが、これは $\dfrac{ab}{2}\sin C$ と等しくなります。

つまり、どの三角形も、三角形 ABC の面積と等しくなります。こうして、 $T_1=T_2=T_3$ であることがわかります。

解答

ヌ：3

解答編つづき

(4) $\triangle \mathrm{ ABC }$, $\triangle \mathrm{ AID }$, $\triangle \mathrm{ BEF }$, $\triangle \mathrm{ CGH }$ のうち、外接円の半径が最も小さいものを求める。

　$0^{\circ}\lt A\lt 90^{\circ}$ のとき、 $\mathrm{ ID }$ $\myBox{ネ}$ $\mathrm{ BC }$ であり

　($\triangle \mathrm{ AID }$ の外接円の半径) $\myBox{ノ}$ ($\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円の半径)

であるから、外接円の半径が最も小さい三角形は

$0^{\circ}\lt A\lt B \lt C \lt 90^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ハ}$ である。

$0^{\circ}\lt A\lt B \lt 90^{\circ} \lt C$ のとき、 $\myBox{ヒ}$ である。

$\mybox{ネ}, \mybox{ノ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $\lt$
　1: $=$
　2: $\gt$

$\mybox{ハ}, \mybox{ヒ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $\triangle \mathrm{ ABC }$
　1: $\triangle \mathrm{ AID }$
　2: $\triangle \mathrm{ BEF }$
　3: $\triangle \mathrm{ CGH }$

解説

ID と BC の長さについて考えましょう。三角形 ABC と三角形 AID について考えると、 AB=AD, AC=AI が成り立つので、角が大きいほど対辺も長くなります（余弦定理を使っても示せます）。

そのため、 $0^{\circ}\lt A \lt 90^{\circ}$ の場合は、 $\angle \mathrm{ DAI }\gt A$ なので、\[ \mathrm{ ID }\gt \mathrm{ BC } \]が成り立ちます。

三角形 ABC の外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理から $2R=\dfrac{\mathrm{ BC } }{\sin A}$ となります。また、三角形 ADI の外接円の半径を $R'$ とすると、 $2R'=\dfrac{\mathrm{ ID } }{\sin \angle \mathrm{ DAI } }$ となりますが、補角の公式からこの $\sin $ は同じ値です。つまり、 $\mathrm{ ID } \gt \mathrm{ BC }$ から $R'\gt R$ も言えます。

同様に考えると、 $0^{\circ}\lt A\lt B \lt C \lt 90^{\circ}$ の場合は、三角形 ABC の外接円の半径は、まわりの3つの三角形のどの外接円の半径よりも小さくなるので、外接円の半径が最も小さい三角形は $\triangle \mathrm{ ABC }$ です。

最後に、 $C$ が鈍角の場合を考えます。