共通テスト 数学I・数学A 2021年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$右の図のように、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外側に辺 AB, BC, CA をそれぞれ1辺とする正方形 ADEB, BFGC, CHIA をかき、2点 EFGHID をそれぞれ線分で結んだ図形を考える。

以下において
\begin{eqnarray}
& & \mathrm{ BC }=a, \ \mathrm{ CA }=b, \ \mathrm{ AB }=c \\[5pt] & & \angle \mathrm{ CAB }=A,\ \angle \mathrm{ ABC }=B,\ \angle \mathrm{ BCA }=C
\end{eqnarray}とする。

(1) $b=6, c=5, \cos A=\dfrac{3}{5}$ のとき、 $\sin A=\dfrac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}}$ であり、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の面積は $\myBox{タチ}$ 、$\triangle \mathrm{ AID }$ の面積は $\myBox{ツテ}$ である。

(2) 正方形 BFGC, CHIA, ADEB の面積をそれぞれ $S_1,S_2,S_3$ とする。このとき、 $S_1-S_2-S_3$ は

  • $0^{\circ}\lt A\lt 90^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ト}$。
  • $A=90^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ナ}$。
  • $90^{\circ}\lt A\lt 180^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ニ}$。

$\mybox{ト}$ ~ $\mybox{ニ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: 0である
 1: 正の値である
 2: 負の値である
 3: 正の値も負の値もとる

(3) $\triangle \mathrm{ AID }, \triangle \mathrm{ BEF}, \triangle \mathrm{ CGH }$ の面積をそれぞれ $T_1, T_2, T_3$ とする。このとき、 $\myBox{ヌ}$ である。

$\mybox{ヌ}$ の解答群

 0: $a\lt b\lt c$ ならば $T_1\gt T_2 \gt T_3$
 1: $a\lt b\lt c$ ならば $T_1\lt T_2 \lt T_3$
 2: $A$ が鈍角ならば、 $T_1\lt T_2$ かつ $T_1\lt T_3$
 3: $a,b,c$ の値に関係なく、 $T_1=T_2=T_3$

(4) $\triangle \mathrm{ ABC }$, $\triangle \mathrm{ AID }$, $\triangle \mathrm{ BEF }$, $\triangle \mathrm{ CGH }$ のうち、外接円の半径が最も小さいものを求める。

 $0^{\circ}\lt A\lt 90^{\circ}$ のとき、 $\mathrm{ ID }$ $\myBox{ネ}$ $\mathrm{ BC }$ であり

 ($\triangle \mathrm{ AID }$ の外接円の半径) $\myBox{ノ}$ ($\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円の半径)

であるから、外接円の半径が最も小さい三角形は

  • $0^{\circ}\lt A\lt B \lt C \lt 90^{\circ}$ のとき、 $\myBox{ハ}$ である。
  • $0^{\circ}\lt A\lt B \lt 90^{\circ} \lt C$ のとき、 $\myBox{ヒ}$ である。

$\mybox{ネ}, \mybox{ノ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

$\mybox{ハ}, \mybox{ヒ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\triangle \mathrm{ ABC }$
 1: $\triangle \mathrm{ AID }$
 2: $\triangle \mathrm{ BEF }$
 3: $\triangle \mathrm{ CGH }$

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(2020年10月 時点の情報です)

考え方

ほとんど計算はないですが、図形から情報を読み取り、補角の公式、余弦定理、正弦定理を応用して考えないといけません。

(2)は、 $a,b,c$ で表してみたほうがわかりやすいかもしれません。(3)は、(1)をヒントに考えましょう。(4)は、向かい合う角を利用して、外接円の半径との関係性を考えましょう。

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