共通テスト数学I・数学A 2021年度第2問 [1] 解説

🕒 2021/01/18 🔄 2023/05/01

【必答問題】

問題編

問題

　陸上競技の短距離100m走では、100mを走るのにかかる時間（以下、タイムと呼ぶ）は、1歩あたりの進む距離（以下、ストライドと呼ぶ）と1秒あたりの歩数（以下、ピッチと呼ぶ）に関係がある。ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えられる。
\begin{eqnarray} \sf{ストライド}(\mathrm{m}/\sf{歩}) = \frac{100(\mathrm{m})}{100\mathrm{m}\sf{を走るのにかかった歩数}(\sf{歩})} \\[5pt] \sf{ピッチ}(\sf{歩}/\sf{秒}) = \frac{100\mathrm{m}\sf{を走るのにかかった歩数}(\sf{歩})}{\sf{タイム}(\sf{秒})} \\[5pt] \end{eqnarray} ただし、100mを走るのにかかった歩数は、最後の1歩がゴールラインをまたぐこともあるので、小数で表される。以下、単位は必要のない限り省略する。
　例えば、タイムが $10.81$ で、そのときの歩数が $48.5$ であったとき、ストライドは $\dfrac{100}{48.5}$ より約 $2.06$ 、ピッチは $\dfrac{48.5}{10.81}$ より約 $4.49$ である。

　なお、小数の形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入して答えよ。また、必要に応じて、指定された桁まで 0 にマークせよ。

(1) ストライドを $x$ 、ピッチを $z$ とおく。ピッチは1秒あたりの歩数、ストライドは1歩あたりの進む距離なので、1秒あたりの進む距離すなわち平均速度は、 $x$ と $z$ を用いて $\myBox{ア}$ (m/秒) と表される。

　これより、タイムと、ストライド、ピッチとの関係は\[ \sf{タイム}=\dfrac{100}{\mybox{ア} } \quad\cdots① \]と表されるので、 $\mybox{ア}$ が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし、タイムがよくなるとは、タイムの値が小さくなることである。

$\mybox{ア}$ の解答群

　0: $x+z$

　1: $z-x$

　2: $xz$

　3: $\dfrac{x+z}{2}$

　4: $\dfrac{z-x}{2}$

　5: $\dfrac{xz}{2}$

(2) 男子短距離100m走の選手である太郎さんは、①に着目して、タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
　次の表は、太郎さんが練習で100mを3回走ったときのストライドとピッチのデータである。

1回目 2回目 3回目

ストライド 2.05 2.10 2.15

ピッチ 4.70 4.60 4.50

　また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合、ストライドの最大値は $2.40$ 、ピッチの最大値は $4.80$ である。
　太郎さんは、上の表から、ストライドが $0.05$ 大きくなるとピッチが $0.1$ 小さくなるという関係があると考えて、ピッチがストライドの1次関数として表されると仮定した。このとき、ピッチ $z$ はストライド $x$ を用いて\[ z=\myBox{イウ}x+\dfrac{\myBox{エオ} }{5} \quad \cdots② \]と表される。

　②が太郎さんのストライドの最大値 $2.40$ とピッチの最大値 $4.80$ まで成り立つと仮定すると、 $x$ の値の範囲は次のようになる。\[ \myBox{カ}.\myBox{キク}\leqq x \leqq 2.40 \]

　$y=\mybox{ア}$ とおく。②を $y=\mybox{ア}$ に代入することにより、 $y$ を $x$ の関数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには、 $\mybox{カ}.\mybox{キク}\leqq x \leqq 2.40$ の範囲で $y$ の値を最大にする $x$ の値を見つければよい。このとき、 $y$ の値が最大になるのは $x=\myBox{ケ}.\myBox{コサ}$ のときである。

　よって、太郎さんのタイムが最もよくなるのは、ストライドが $\mybox{ケ}.\mybox{コサ}$ のときであり、このとき、ピッチは $\myBox{シ}.\myBox{スセ}$ である。また、このときの太郎さんのタイムは、①により $\myBox{ソ}$ である。

　$\myBox{ソ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。

　0: 9.68
　1: 9.97
　2: 10.09

　3: 10.33
　4: 10.42
　5: 10.55

考え方

問題文がやたらと長いですが、複雑なことはしていません。100m走をいくつかの要素に分解して、一番いいタイムを考えています。

いろいろなものをいくつかの文字で表しているので、何が何を表しているか、対応をよく考えながら解いていきましょう。

mathjax: ["waku"]

解答編

問題

　陸上競技の短距離100m走では、100mを走るのにかかる時間（以下、タイムと呼ぶ）は、1歩あたりの進む距離（以下、ストライドと呼ぶ）と1秒あたりの歩数（以下、ピッチと呼ぶ）に関係がある。ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えられる。
\begin{eqnarray} \sf{ストライド}(\mathrm{m}/\sf{歩}) = \frac{100(\mathrm{m})}{100\mathrm{m}\sf{を走るのにかかった歩数}(\sf{歩})} \\[5pt] \sf{ピッチ}(\sf{歩}/\sf{秒}) = \frac{100\mathrm{m}\sf{を走るのにかかった歩数}(\sf{歩})}{\sf{タイム}(\sf{秒})} \\[5pt] \end{eqnarray} ただし、100mを走るのにかかった歩数は、最後の1歩がゴールラインをまたぐこともあるので、小数で表される。以下、単位は必要のない限り省略する。
　例えば、タイムが $10.81$ で、そのときの歩数が $48.5$ であったとき、ストライドは $\dfrac{100}{48.5}$ より約 $2.06$ 、ピッチは $\dfrac{48.5}{10.81}$ より約 $4.49$ である。

　なお、小数の形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入して答えよ。また、必要に応じて、指定された桁まで 0 にマークせよ。

(1) ストライドを $x$ 、ピッチを $z$ とおく。ピッチは1秒あたりの歩数、ストライドは1歩あたりの進む距離なので、1秒あたりの進む距離すなわち平均速度は、 $x$ と $z$ を用いて $\myBox{ア}$ (m/秒) と表される。

　これより、タイムと、ストライド、ピッチとの関係は\[ \sf{タイム}=\dfrac{100}{\mybox{ア} } \quad\cdots① \]と表されるので、 $\mybox{ア}$ が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし、タイムがよくなるとは、タイムの値が小さくなることである。

$\mybox{ア}$ の解答群

　0: $x+z$

　1: $z-x$

　2: $xz$

　3: $\dfrac{x+z}{2}$

　4: $\dfrac{z-x}{2}$

　5: $\dfrac{xz}{2}$

解説

1秒あたりに進む距離は、1秒あたりの歩数と1歩あたりの進む距離を掛ければ出るので、 $xz$ で表すことができます。

解答

ア：2

解答編つづき

(2) 男子短距離100m走の選手である太郎さんは、①に着目して、タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
　次の表は、太郎さんが練習で100mを3回走ったときのストライドとピッチのデータである。

1回目 2回目 3回目

ストライド 2.05 2.10 2.15

ピッチ 4.70 4.60 4.50

　また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合、ストライドの最大値は $2.40$ 、ピッチの最大値は $4.80$ である。
　太郎さんは、上の表から、ストライドが $0.05$ 大きくなるとピッチが $0.1$ 小さくなるという関係があると考えて、ピッチがストライドの1次関数として表されると仮定した。このとき、ピッチ $z$ はストライド $x$ を用いて\[ z=\myBox{イウ}x+\dfrac{\myBox{エオ} }{5} \quad \cdots② \]と表される。

　②が太郎さんのストライドの最大値 $2.40$ とピッチの最大値 $4.80$ まで成り立つと仮定すると、 $x$ の値の範囲は次のようになる。\[ \myBox{カ}.\myBox{キク}\leqq x \leqq 2.40 \]

解説

ストライドが $0.05$ 大きくなるとピッチが $0.1$ 小さくなるので、ストライドが $1$ 大きくなるとピッチは $2$ 小さくなります。よって、 $z=-2x+b$ とおくことができます。

$x=2.1$ のときに $z=4.6$ なので、
\begin{eqnarray} 4.6 &=& -2\cdot 2.1 + b \\[5pt] 4.6 +4.2 &=& b \\[5pt] b &=& 8.8=\frac{44}{5} \end{eqnarray}となります。こうして、\[ z=-2x+\frac{44}{5} \]と表されることがわかります。

ピッチの最大値が $4.80$ なので、ストライド $x$ の範囲は
\begin{eqnarray} & & -2x+8.8 \leqq 4.8 \\[5pt] & & -2x \leqq -4 \\[5pt] & & x \geqq 2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。こうして、 $x$ の範囲は\[ 2.00\leqq x \leqq 2.40 \]と求められます。

解答

イウ：-2
エオ：44
カキク：200

解答編つづき

　$y=\mybox{ア}$ とおく。②を $y=\mybox{ア}$ に代入することにより、 $y$ を $x$ の関数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには、 $\mybox{カ}.\mybox{キク}\leqq x \leqq 2.40$ の範囲で $y$ の値を最大にする $x$ の値を見つければよい。このとき、 $y$ の値が最大になるのは $x=\myBox{ケ}.\myBox{コサ}$ のときである。

　よって、太郎さんのタイムが最もよくなるのは、ストライドが $\mybox{ケ}.\mybox{コサ}$ のときであり、このとき、ピッチは $\myBox{シ}.\myBox{スセ}$ である。また、このときの太郎さんのタイムは、①により $\myBox{ソ}$ である。

　$\myBox{ソ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。

　0: 9.68
　1: 9.97
　2: 10.09

　3: 10.33
　4: 10.42
　5: 10.55

解説

\begin{eqnarray} y &=& zx \\[5pt] &=& (-2x+8.8)x \\[5pt] &=& -2x^2+8.8x \\[5pt] &=& -2(x^2-4.4x) \\[5pt] &=& -2(x-2.2)^2+2\cdot 2.2^2 \\[5pt] &=& -2(x-2.2)^2+9.68 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

こうして、 $2\leqq x\leqq 2.4$ の範囲で $y$ が最大となるのは $x=2.20$ のときだとわかります。このとき、ピッチは\[ -2x+8.8=4.40 \]であり、 $y$ 、つまり、平均速度の最大値は $9.68$ だとわかります。

ここで、①で見た通り、タイムは、距離を平均速度で割って求められます。 $y=zx$ が平均速度であり、この最大値が $9.68$ なので、最もよくなるときのタイムは\[ \frac{100}{9.68}=10.330\cdots \]となります。