共通テスト 数学I・数学A 2021年度 第3問 解説

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじを引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを、条件付き確率を用いて考えよう。

(1) 当たりくじを引く確率が $\dfrac{1}{2}$ である箱Aと、当たりくじを引く確率が $\dfrac{1}{3}$ である箱Bの二つの箱の場合を考える。

(i) 各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき

 箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ …①

 箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は $\dfrac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}$ …②

である。

(ii) まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象を $A$、箱Bが選ばれる事象を $B$ 、3回中ちょうど1回当たる事象を $W$ とすると
\begin{eqnarray}
P(A\cap W)=\frac{1}{2}\times\frac{\mybox{ア}}{\mybox{イ}}
P(B\cap W)=\frac{1}{2}\times\frac{\mybox{ウ}}{\mybox{エ}}
\end{eqnarray}である。 $P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)$ であるから、3回中ちょうど1回当たったとき、選んだ箱がAである条件付き確率 $P_W(A)$ は $\dfrac{\myBox{オカ}}{\myBox{キク}}$ となる。また、条件付き確率 $P_W(B)$ は $\dfrac{\myBox{ケコ}}{\myBox{サシ}}$ となる。

(2) (1)の $P_W(A)$ と $P_W(B)$ について、次の事実(*)が成り立つ。

事実(*)

$P_W(A)$ と $P_W(B)$ の $\myBox{ス}$ は、①の確率と②の確率の $\mybox{ス}$ に等しい。

$\mybox{ス}$ の解答群

 0: 和
 1: 2乗の和
 2: 3乗の和
 3: 比
 4: 積

(3) 花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。

花子:事実(*)はなぜ成り立つのかな?

太郎: $P_W(A)$ と $P_W(B)$ を求めるのに必要な $P(A\cap W)$ と $P(B\cap W)$ の計算で、①, ②の確率に同じ数 $\dfrac{1}{2}$ をかけているからだよ。

花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数 $\dfrac{1}{3}$ をかけることになるので、同様のことが成り立ちそうだね。

 当たりくじを引く確率が、 $\dfrac{1}{2}$ である箱A、 $\dfrac{1}{3}$ である箱B、 $\dfrac{1}{4}$ である箱Cの三つの箱の場合を考える。まず、A、B、C のうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、選んだ箱が $A$ である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{セソタ}}{\myBox{チツテ}}$ となる。

(4)

花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の $\mybox{ス}$ は各箱で3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率の $\mybox{ス}$ になっているみたいだね。

太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくても、その大きさを比較することができるね。

 当たりくじを引く確率が、 $\dfrac{1}{2}$ である箱A、 $\dfrac{1}{3}$ である箱B、 $\dfrac{1}{4}$ である箱C、 $\dfrac{1}{5}$ である箱Dの四つの箱の場合を考える。まず、A、B、C、D のうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い方から順に並べると $\myBox{ト}$ となる。

$\mybox{ト}$ の解答群

 0: A, B, C, D
 1: A, B, D, C
 2: A, C, B, D

 3: A, C, D, B
 4: A, D, B, C
 5: B, A, C, D

 6: B, A, D, C
 7: B, C, A, D
 8: B, C, D, A

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(2020年09月 時点の情報です)

考え方

(3)で、直接、条件付き確率の計算をしなくてもよい、ということにどうつなげていくかがポイントです。それがわからないと、計算がめんどくさそうです。(4)も、計算しなくても答えを出す方法を考えましょう。

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