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共通テスト 数学I・数学A 2021年度 第3問 解説

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【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじを引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを、条件付き確率を用いて考えよう。

(1) 当たりくじを引く確率が $\dfrac{1}{2}$ である箱Aと、当たりくじを引く確率が $\dfrac{1}{3}$ である箱Bの二つの箱の場合を考える。

(i) 各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき

 箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は $\dfrac{\myBox{ア} }{\myBox{イ} }$ …①

 箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は $\dfrac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }$ …②

である。

(ii) まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象を $A$、箱Bが選ばれる事象を $B$ 、3回中ちょうど1回当たる事象を $W$ とすると
\begin{eqnarray} P(A\cap W)=\frac{1}{2}\times\frac{\mybox{ア} }{\mybox{イ} } P(B\cap W)=\frac{1}{2}\times\frac{\mybox{ウ} }{\mybox{エ} } \end{eqnarray}である。 $P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)$ であるから、3回中ちょうど1回当たったとき、選んだ箱がAである条件付き確率 $P_W(A)$ は $\dfrac{\myBox{オカ} }{\myBox{キク} }$ となる。また、条件付き確率 $P_W(B)$ は $\dfrac{\myBox{ケコ} }{\myBox{サシ} }$ となる。

(2) (1)の $P_W(A)$ と $P_W(B)$ について、次の事実(*)が成り立つ。

事実(*)
$P_W(A)$ と $P_W(B)$ の $\myBox{ス}$ は、①の確率と②の確率の $\mybox{ス}$ に等しい。

$\mybox{ス}$ の解答群

 0: 和
 1: 2乗の和
 2: 3乗の和
 3: 比
 4: 積

(3) 花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。

  • 事実(*)はなぜ成り立つのかな?
  • $P_W(A)$ と $P_W(B)$ を求めるのに必要な $P(A\cap W)$ と $P(B\cap W)$ の計算で、①, ②の確率に同じ数 $\dfrac{1}{2}$ をかけているからだよ。
  • なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数 $\dfrac{1}{3}$ をかけることになるので、同様のことが成り立ちそうだね。

 当たりくじを引く確率が、 $\dfrac{1}{2}$ である箱A、 $\dfrac{1}{3}$ である箱B、 $\dfrac{1}{4}$ である箱Cの三つの箱の場合を考える。まず、A、B、C のうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、選んだ箱が $A$ である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{セソタ} }{\myBox{チツテ} }$ となる。

(4)

  • どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の $\mybox{ス}$ は各箱で3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率の $\mybox{ス}$ になっているみたいだね。
  • そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくても、その大きさを比較することができるね。

 当たりくじを引く確率が、 $\dfrac{1}{2}$ である箱A、 $\dfrac{1}{3}$ である箱B、 $\dfrac{1}{4}$ である箱C、 $\dfrac{1}{5}$ である箱Dの四つの箱の場合を考える。まず、A、B、C、D のうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い方から順に並べると $\myBox{ト}$ となる。

$\mybox{ト}$ の解答群

 0: A, B, C, D
 1: A, B, D, C
 2: A, C, B, D

 3: A, C, D, B
 4: A, D, B, C
 5: B, A, C, D

 6: B, A, D, C
 7: B, C, A, D
 8: B, C, D, A

考え方

(3)で、直接、条件付き確率の計算をしなくてもよい、ということにどうつなげていくかがポイントです。それがわからないと、計算がめんどくさそうです。(4)も、計算しなくても答えを出す方法を考えましょう。


解答編

問題

 中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじを引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを、条件付き確率を用いて考えよう。

(1) 当たりくじを引く確率が $\dfrac{1}{2}$ である箱Aと、当たりくじを引く確率が $\dfrac{1}{3}$ である箱Bの二つの箱の場合を考える。

(i) 各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき

 箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は $\dfrac{\myBox{ア} }{\myBox{イ} }$ …①

 箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は $\dfrac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }$ …②

である。

解説

箱Aについて考えます。3回中1回当たる確率は、まず、何回目で当たるかが3通りあり、当たる確率もはずれの確率も $\dfrac{1}{2}$ だから\[ 3\times\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{8} \]となります。

箱Bは、当たる確率は $\dfrac{1}{3}$ で、はずれの確率は $\dfrac{2}{3}$ なので\[ 3\times \frac{1}{3}\times \left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9} \]と求められます。

解答

アイ:38
ウエ:49

解答編 つづき

(ii) まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象を $A$、箱Bが選ばれる事象を $B$ 、3回中ちょうど1回当たる事象を $W$ とすると
\begin{eqnarray} P(A\cap W)=\frac{1}{2}\times\frac{\mybox{ア} }{\mybox{イ} } P(B\cap W)=\frac{1}{2}\times\frac{\mybox{ウ} }{\mybox{エ} } \end{eqnarray}である。 $P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)$ であるから、3回中ちょうど1回当たったとき、選んだ箱がAである条件付き確率 $P_W(A)$ は $\dfrac{\myBox{オカ} }{\myBox{キク} }$ となる。また、条件付き確率 $P_W(B)$ は $\dfrac{\myBox{ケコ} }{\myBox{サシ} }$ となる。

解説

3回中ちょうど1回当たる確率は、問題文にある通りに計算できて
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{2}\times\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\times\frac{4}{9} \\[5pt] &=& \frac{27+32}{144}=\frac{59}{144} \end{eqnarray}となります。

よって、条件付き確率 $P_W(A)$ は
\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{2}\times\frac{3}{8} }{\frac{59}{144} }=\frac{27}{59} \end{eqnarray}となり、 $P_W(B)$ は \begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{2}\times\frac{4}{9} }{\frac{59}{144} }=\frac{32}{59} \end{eqnarray}と求められます。

解答

オカキク:2759
ケコサシ:3259

解答編 つづき

(2) (1)の $P_W(A)$ と $P_W(B)$ について、次の事実(*)が成り立つ。

事実(*)
$P_W(A)$ と $P_W(B)$ の $\myBox{ス}$ は、①の確率と②の確率の $\mybox{ス}$ に等しい。

$\mybox{ス}$ の解答群

 0: 和
 1: 2乗の和
 2: 3乗の和
 3: 比
 4: 積

解説

$P_W(A):P_W(B)=\dfrac{27}{59}:\dfrac{32}{59}=27:32$ であり、①の確率と②の確率の比は $\dfrac{3}{8}:\dfrac{4}{9}=27:32$ なので、比が一致します。

これは、この後の問題にもあるように
\begin{eqnarray} P_W(A):P_W(B) &=& \frac{P(A\cap W)}{P(W)}:\frac{P(B\cap W)}{P(W)} \\[5pt] &=& P(A\cap W):P(B\cap W) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\times①:\frac{1}{2}\times② \\[5pt] &=& ①:② \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できることからも確かめられます。

解答

ス:3

解答編 つづき

(3) 花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。

  • 事実(*)はなぜ成り立つのかな?
  • $P_W(A)$ と $P_W(B)$ を求めるのに必要な $P(A\cap W)$ と $P(B\cap W)$ の計算で、①, ②の確率に同じ数 $\dfrac{1}{2}$ をかけているからだよ。
  • なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数 $\dfrac{1}{3}$ をかけることになるので、同様のことが成り立ちそうだね。

 当たりくじを引く確率が、 $\dfrac{1}{2}$ である箱A、 $\dfrac{1}{3}$ である箱B、 $\dfrac{1}{4}$ である箱Cの三つの箱の場合を考える。まず、A、B、C のうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、選んだ箱が $A$ である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{セソタ} }{\myBox{チツテ} }$ となる。

解説

箱Cについても、①や②と同じように、3回中ちょうど1回当たる確率を計算すると
\begin{eqnarray} 3\times \frac{1}{4}\times\left(\frac{3}{4}\right)^2 &=& \frac{27}{64} \end{eqnarray}となることがわかります。これを③とおきましょう。

こうすると、先ほどと同じように比を考えれば、
\begin{eqnarray} & & P_W(A):P_W(B):P_W(C) \\[5pt] &=& P(A\cap W):P(B\cap W):P(C\cap W) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\times①:\frac{1}{3}\times②:\frac{1}{3}\times③ \\[5pt] &=& ①:②:③ \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、条件付き確率の比は、①,②,③の比を考えればいいことがわかります。

この比は
\begin{eqnarray} \frac{3}{8}:\frac{4}{9}:\frac{27}{64} &=& 24:\frac{256}{9}:27 \\[5pt] &=& 216:256:243 \end{eqnarray}となります。(64を掛けた後に9を掛けています)

また、三つの箱の中のどれかを必ず選んでいるはずなので、 $P_W(A)+P_W(B)+P_W(C)=1$ が成り立ちます。よって\[ P_W(A)=\frac{216}{216+256+243}=\frac{216}{715} \]と求められます。

解答

セソタチツテ:216715

解答編 つづき

(4)

  • どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の $\mybox{ス}$ は各箱で3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率の $\mybox{ス}$ になっているみたいだね。
  • そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくても、その大きさを比較することができるね。

 当たりくじを引く確率が、 $\dfrac{1}{2}$ である箱A、 $\dfrac{1}{3}$ である箱B、 $\dfrac{1}{4}$ である箱C、 $\dfrac{1}{5}$ である箱Dの四つの箱の場合を考える。まず、A、B、C、D のうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い方から順に並べると $\myBox{ト}$ となる。

$\mybox{ト}$ の解答群

 0: A, B, C, D
 1: A, B, D, C
 2: A, C, B, D

 3: A, C, D, B
 4: A, D, B, C
 5: B, A, C, D

 6: B, A, D, C
 7: B, C, A, D
 8: B, C, D, A

解答

箱が2個や3個の場合からわかる通り、条件付き確率の比は、「それぞれの箱を選んだときの、3回中ちょうど1回当たる確率の比」と一致することがわかります。

箱Dについて、3回中ちょうど1回当たる確率は
\begin{eqnarray} 3\times\frac{1}{5}\times\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{48}{125} \end{eqnarray}となることから、条件付き確率の比は \begin{eqnarray} & & \frac{3}{8}:\frac{4}{9}:\frac{27}{64}:\frac{48}{125} \\[5pt] \end{eqnarray}の比と一致します。なので、この大きさの順が条件付き確率の大きさの順と一致します。

$\dfrac{3}{8}=0.375$, $\dfrac{4}{9}=0.444\cdots$, $\dfrac{27}{64}=0.421875$, $\dfrac{48}{125}=0.384$ だから、B, C, D, A の順番となります。選択肢の中では、8となります。

解答

ト:8

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