共通テスト 数学I・数学A 2021年度 第5問 解説

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ AB }=3, \mathrm{ BC }=4, \mathrm{ AC }=5$ とする。

 $\angle \mathrm{ BAC }$ の二等分線と辺 $\mathrm{ BC }$ との交点を $\mathrm{ D }$ とすると\[ \mathrm{ BD }=\frac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}\ , \ \mathrm{ AD }=\frac{\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ}}}{\myBox{オ}} \]である。

 また、 $\angle \mathrm{ BAC }$ の二等分線と $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円 $\mathrm{ O }$ との交点で点 $\mathrm{ A }$ とは異なる点を $\mathrm{ E }$ とする。 $\triangle \mathrm{ AEC }$ に着目すると\[ \mathrm{ AE }=\myBox{カ}\sqrt{\myBox{キ}} \]である。

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の2辺 $\mathrm{ AB }$ と $\mathrm{ AC }$ の両方に接し、外接円 $\mathrm{ O }$ に内接する円の中心を $\mathrm{ P }$ とする。円 $\mathrm{ P }$ の半径を $r$ とする。さらに、円 $\mathrm{ P }$ と外接円 $\mathrm{ O }$ との接点を $\mathrm{ F }$ とし、直線 $\mathrm{ PF }$ と外接円 $\mathrm{ O }$ との交点で点 $\mathrm{ F }$ とは異なる点を $\mathrm{ G }$ とする。このとき\[ \mathrm{ AP }=\sqrt{\myBox{ク}}\ r \ , \ \mathrm{ PG }=\myBox{ケ}-r \]と表せる。したがって、方べきの定理により $r=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ である。

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内心を $\mathrm{ Q }$ とする。内接円 $\mathrm{ Q }$ の半径は $\myBox{シ}$ で、 $\mathrm{ AQ }=\sqrt{\myBox{ス}}$ である。また、円 $\mathrm{ P }$ と辺 $\mathrm{ AB }$ との接点を $\mathrm{ H }$ とすると、 $\mathrm{ AH }=\dfrac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}}$ である。

 以上から、点 $\mathrm{ H }$ に関する次の (a), (b) の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{タ}$ である。

 (a) 点 $\mathrm{ H }$ は3点 $\mathrm{ B,\ D,\ Q }$ を通る円の周上にある。
 (b) 点 $\mathrm{ H }$ は3点 $\mathrm{ B,\ E,\ Q }$ を通る円の周上にある。

$\mybox{タ}$ の解答群

 0: (a)正 (b)正
 1: (a)正 (b)誤
 2: (a)誤 (b)正
 3: (a)誤 (b)誤

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(2021年09月 時点の情報です)

考え方

後半になると少し図がかきづらくなりますが、過去問を解いていれば対応できるレベルでしょう。

最後の選択問題は条件を言い換えたり、それまでに求めたものをどう使うかを考えないといけないですが、図がかけていれば、何を示すべきかを考えるのはそれほど難しくはないでしょう。

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