共通テスト 数学I・数学A 2021年度 第4問 解説

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$円周上に15個の点 $\mathrm{ P }_0$, $\mathrm{ P }_1$, $\cdots$, $\mathrm{ P }_{14}$ が反時計回りに順に並んでいる。最初、点 $\mathrm{ P }_0$ に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。この操作を繰り返す。例えば、石が点 $\mathrm{P}_5$ にあるとき、さいころを投げて6の目が出たら石を点 $\mathrm{P}_{10}$ に移動させる。次に、5の目が出たら点 $\mathrm{P}_{10}$ にある石を点 $\mathrm{P}_7$ に移動させる。

(1) さいころを5回投げて、偶数の目が $\myBox{ア}$ 回、奇数の目が $\myBox{イ}$ 回出れば、点 $\mathrm{P}_0$ にある石を点 $\mathrm{P}_1$ に移動させることができる。このとき、 $x=\mybox{ア}$, $y=\mybox{イ}$ は、不定方程式 $5x-3y=1$ の整数解になっている。

(2) 不定方程式\[ 5x-3y=8 \quad \cdots ① \]のすべての整数解 $x,y$ は、 $k$ を整数として
\begin{eqnarray}
x &=& \mybox{ア}\times 8+\myBox{ウ}k, \\[5pt] y &=& \mybox{イ}\times 8+\myBox{エ}k
\end{eqnarray}と表される。①の整数解 $x,y$ の中で、 $0\leqq y \lt \mybox{エ}$ を満たすものは\[ x=\myBox{オ},\ y=\myBox{カ}\]である。したがって、さいころを $\myBox{キ}$ 回投げて、偶数の目が $\mybox{オ}$ 回、奇数の目が $\mybox{カ}$ 回出れば、点 $\mathrm{P}_0$ にある石を点 $\mathrm{P}_8$ に移動させることができる。

(3) (2)において、さいころを $\mybox{キ}$ 回より少ない回数だけ投げて、点 $\mathrm{P}_0$ にある石を点 $\mathrm{P}_8$ に移動させることはできないだろうか。

 (*)石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると元の点に戻る。

 (*)に注意すると、偶数の目が $\myBox{ク}$ 回、奇数の目が $\myBox{ケ}$ 回出れば、さいころを投げる回数が $\myBox{コ}$ 回で、点 $\mathrm{P}_0$ にある石を点 $\mathrm{P}_8$ に移動させることができる。このとき、 $\mybox{コ}\lt\mybox{キ}$ である。

(4) 点 $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{P}_2$, $\cdots$, $\mathrm{P}_{14}$ のうちから点を一つ選び、点 $\mathrm{P}_0$ にある石をさいころを何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを投げる最小回数を考える。例えば、さいころを1回だけ投げて点 $\mathrm{P}_0$ にある石を点 $\mathrm{P}_2$ へ移動させることはできないが、さいころを2回投げて偶数の目と奇数の目が1回ずつ出れば、点 $\mathrm{P}_0$ にある石を点 $\mathrm{P}_2$ へ移動させることができる。したがって、点 $\mathrm{P}_2$ を選んだ場合には、この最小回数は2回である。

 点 $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{P}_2$, $\cdots$, $\mathrm{P}_{14}$ のうち、この最小回数が最も大きいのは点 $\myBox{サ}$ であり、その最小回数は $\myBox{シ}$ 回である。

$\mybox{サ}$ の解答群

 0: $\mathrm{P}_{10}$
 1: $\mathrm{P}_{11}$
 2: $\mathrm{P}_{12}$
 3: $\mathrm{P}_{13}$
 4: $\mathrm{P}_{14}$

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(2021年09月 時点の情報です)

考え方

(3)は、答えを選ぶだけならそんなに難しくないですが、まじめに計算しようとすると少し大変です。

(4)は、まじめに各点の最小移動回数を考えていたら大変すぎです。ここまでとは異なるアプローチで考えたほうがいいと思います。

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