共通テスト 数学I・数学A 2018年度プレテスト 第1問 [1] 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$有理数全体の集合を $A$, 無理数全体の集合を $B$ とし、空集合を $\varnothing$ と表す。このとき、次の聞いに答えよ。

(1) 「集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分は空集合である」という命題を、記号を用いて表すと次のようになる。\[ A\cap B=\varnothing \]

「 $1$ のみを要素にもつ集合は集合 $A$ の部分集合である」という命題を、記号を用いて表せ。解答は、解答欄 $\myBox{(あ)}$に記述せよ。

(2) 命題「 $x\in B$, $y\in B$ ならば、 $x+y\in B$ である」が偽であることを示すための反例となる $x,y$ の組を、次の 0~5 のうちから二つ選べ。必要ならば、 $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを用いてもよい。ただし、解答の順序は問わない。 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$

 0: $x=\sqrt{2}$, $y=0$
 1: $x=3-\sqrt{3}$, $y=\sqrt{3}-1$
 2: $x=\sqrt{3}+1$, $y=\sqrt{2}-1$

 3: $x=\sqrt{4}$, $y=-\sqrt{4}$
 4: $x=\sqrt{8}$, $y=1-2\sqrt{2}$
 5: $x=\sqrt{2}-2$, $y=\sqrt{2}+2$

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考え方

集合と命題の問題です。

(1)は、集合に関する記号の問題です。記号を書かせる、というパターンもあるんですね。集合の表し方や、含むと属するの違いなど、間違いやすいので注意しましょう。

(2)は、反例となる組合せを考える問題です。反例とは何かが分かっていれば、それぞれの判定は難しくありません。