共通テスト 数学I・数学A 2018年度プレテスト 第2問 [1] 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\angle \mathrm{ ACB }=90^{\circ}$ である直角三角形 ABC と、その辺上を移動する3点 P, Q, R がある。点 P, Q, R は、次の規則に従って移動する。

  • 最初、点 P, Q, R はそれぞれ点 A, B, C の位置にあり、点 P, Q, R は同時刻に移動を開始する。
  • P は辺 AC 上を、点 Q は辺 BA 上を、点 R は辺 CB 上を、それぞれ向きを変えることなく、一定の速さで移動する。ただし、点 P は 毎秒 1 の速さで移動する。
  • P, Q, R は、それぞれ点 C, A, B の位置に同時刻に到達し、移動を終了する。

 次の問いに答えよ。

(1) 図1 の直角三角形 ABC を考える。

(i) 各点が移動を開始してから 2 秒後の線分 PQ の長さと三角形 APQ の面積 $S$ を求めよ。

 $\mathrm{ PQ }=\myBox{ア}\sqrt{\myBox{イウ}}$
 $S=\myBox{エ}\sqrt{\myBox{オ}}$

(ii) 各点が移動する間の線分 PR の長さとして、とり得ない値、一回だけとり得る値、二回だけとり得る値を、次の 0~4 のうちからそれぞれすべて選べ。ただし、移動には出発点と到達点も含まれるものとする。

 とり得ない値 $\myBox{カ}$
 一回だけとり得る値 $\myBox{キ}$
 二回だけとり得る値 $\myBox{ク}$

 0: $5\sqrt{2}$
 1: $5\sqrt{3}$
 2: $4\sqrt{5}$
 3: $10$
 4: $10\sqrt{3}$

(iii) 各点が移動する間における三角形 APQ, 三角形 BQR, 三角形 CRP の面積をそれぞれ $S_1,S_2,S_3$ とする。各時刻における $S_1,S_2,S_3$ の間の大小関係と、その大小関係が時刻とともにどのように変化するかを答えよ。解答は、解答欄 $\myBox{(う)}$ に記述せよ。

(2) 直角三角形 ABC の辺の長さを右の図2のように変えたとき、三角形 PQR の面積が 12 となるのは、各点が移動を開始してから何秒後かを求めよ。

 $\dfrac{\myBox{ケコ}\pm\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シ}}}{\myBox{ス}}$ 秒後

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考え方

二次関数・三角比が絡んだ問題です。

まずは、正しく状況を把握しましょう。動くものがたくさんありますが、とりあえず、移動開始からの時刻を $x$ とするなどして、いろいろな線分の長さを考えるところから始めましょう。

(1)(i)は、余弦定理を使って求められます。辺の比がわかるので、三平方の定理から求めることもできます。

(1)(ii)は、流れが変わって二次関数の問題です。 $\mathrm{ PR }^2$ の取りうる範囲を考えましょう。

(1)(iii)は、計算により考えることもできますが、図形的に考えることもできます。答えるときは、指示通り、時刻とからめて答えるようにしましょう。

(2)は、(1)(iii)の結果も踏まえて考える問題です。ただ、(1)(iii)を図形的に考えられないと、どう応用できるのかがわかりにくいかもしれません。

話題があちこち飛ぶので、ついていくのが大変です。出てくる図形は易しいですが、問題の難易度は高めです。