共通テスト 数学I・数学A 2018年度プレテスト 第5問 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$ある日、太郎さんと花子さんのクラスでは、数学の授業で先生から次の問題1が宿題として出された。下の問いに答えよ。なお、円周上に異なる 2点をとった場合、弧は二つできるが、本問題において、弧は二つあるうちの小さい方を指す。

問題1
 正三角形 ABC の外接円の弧BC上に点X があるとき、 $\mathrm{ AX=BX+CX }$ が成り立つことを証明せよ。

(1) 問題1は次のような構想をもとにして証明できる。

 線分AX 上に $\mathrm{ BX = B’X }$ となる点 $\mathrm{ B’ }$ をとり、 B と $\mathrm{ B’ }$ を結ぶ。

$\mathrm{ AX = AB’+ B’X }$ なので、 $\mathrm{ AX=BX+CX }$ を示すには、 $\mathrm{ AB’=CX }$ を示せばよく、 $\mathrm{ AB’ = CX }$ を示すには、二つの三角形 $\myBox{ア}$ と $\myBox{イ}$ が合同であることを示せばよい。

 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 7 のうちからも一つずつ選べ。ただし、 $\mybox{ア}$, $\mybox{イ}$ の解答の順序は問わない。

 0: $\triangle \mathrm{ ABB’ }$
 1: $\triangle \mathrm{ AB’C }$
 2: $\triangle \mathrm{ ABX }$
 3: $\triangle \mathrm{ AXC }$

 4: $\triangle \mathrm{ BCB’ }$
 5: $\triangle \mathrm{ BXB’ }$
 6: $\triangle \mathrm{ B’XC }$
 7: $\triangle \mathrm{ CBX }$


 太郎さんたちは、次の日の数学の授業で問題1を証明した後、点X が弧BC 上にないときについて先生に質問をした。その質問に対して先生は、一般に次の定理が成り立つことや、その定理問題1で証明したことを使うと、下の問題2が解決できることを教えてくれた。

定理
 平面上の点X と正三角形ABC の各頂点からの距離 AX, BX, CX について、点X が三角形ABC の外接円の弧BC 上にないときは、 $\mathrm{ AX\lt BX+CX }$ が成り立つ。
問題2
 三角形PQR について、各頂点からの距離の和 $\mathrm{ PY+QY+RY }$ が最小になる点 Y はどのような位置にあるかを求めよ。

(2) 太郎さんと花子さんは問題2について、次のような会話をしている。

花子:問題1で証明したことは、二つの線分 BXCX の長さの和を一つの線分 AX の長さに置き換えられるってことだよね。

太郎:例えば、下の図の三角形PQR で辺PQ を 1辺とする正三角形をかいてみたらどうかな。ただし、辺QR を最も長い辺とするよ。 辺PQ に関して点R とは反対側に点S をとって、正三角形PSQ をかき、その外接円をかいてみようよ。

花子:正三角形PSQ の外接円の弧PQ 上に点T をとると、PTQT の長さの和は線分 $\myBox{ウ}$ の長さに置き換えられるから、 $\mathrm{ PT + QT + RT } =\mybox{ウ}+\mathrm{ RT }$ になるね。

太郎:定理問題1で証明したことを使うと問題2の点Y は、点 $\myBox{エ}$ と点 $\myBox{オ}$ を通る直線と $\myBox{カ}$ との交点になることが示せるよ。

花子:でも、 $\angle \mathrm{ QPR }$ が $\myBox{キ}^{\circ}$ より大きいときは、点 $\mybox{エ}$ と点 $\mybox{オ}$ を通る直線と $\mybox{カ}$ が交わらないから、 $\angle \mathrm{ QPR }$ が $\myBox{キ}^{\circ}$ より小さいときという条件がつくよね。

太郎:では、 $\angle \mathrm{ QPR }$ が $\mybox{キ}^{\circ}$ より大きいときは、点Y はどのような点になるのかな。

(i) $\myBox{ウ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: PQ
 1: PS
 2: QS

 3: RS
 4: RT
 5: ST

(ii) $\myBox{エ}$, $\myBox{オ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つずつ選べ。ただし、 $\mybox{エ}$, $\mybox{オ}$ の解答の順序は問わない。

 0: P
 1: Q
 2: R
 3: S
 4: T

(iii) $\myBox{カ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: 辺PQ
 1: 辺PS
 2: 辺QS

 3: 弧PQ
 4: 弧PS
 5: 弧QS

(iv) $\myBox{キ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 6 のうちから一つ選べ。

 0: 30
 1: 45
 2: 60
 3: 90

 4: 120
 5: 135
 6: 150

(v) $\angle \mathrm{ QPR }$ が $\mybox{キ}^{\circ}$ より「小さいとき」と「大きいとき」の点Y について正しく述べたものを、それぞれ次の 0~6 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 小さいとき $\myBox{ク}$
 大きいとき $\myBox{ケ}$

 0: 点Y は、三角形PQR の外心である。

 1: 点Y は、三角形PQR の内心である。

 2: 点Y は、三角形PQR の重心である。

 3: 点Y は、 $\angle \mathrm{ PYR }=\angle \mathrm{ QYP }=\angle \mathrm{ RYQ }$ となる点である。

 4: 点Y は、 $\angle \mathrm{ PQY }+\angle \mathrm{ PRY }+\angle \mathrm{ QPR }=180^{\circ}$ となる点である。

 5: 点Y は、三角形PQR の三つの辺のうち、最も短い辺を除く二つの辺の交点である。

 6: 点Y は、三角形PQR の三つの辺のうち、最も長い辺を除く二つの辺の交点である。

考え方

有名な図形問題ではありますが、最後は難易度が高いです。

(1)は、 $\mathrm{ B’ }$ の場所が正しく把握できれば、正解は導けるでしょう。証明までできたほうがいいですが、形から推測することはできます。

(2)は、(i)(ii)(iii)は、図で示された状況だけを考えます。置き換えた後の式を見れば、線分の和が最小になるときは、図形からすぐにわかるでしょう。

(iv)は、境い目となるときがどんなときかを考えましょう。(v)の前半は、(iii)までに考えた内容が使えます。後半は、予想することはできますが、正確に証明しようとするとなかなかハードです。証明まで完成して自信をもって答えを出せる人は、すごく少ないでしょう。