共通テスト 数学I・数学A 2018年度プレテスト 第4問 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$ある物体 X の質量を天秤ばかりと分銅を用いて量りたい。天秤ばかりは支点の両側に皿 A、B が取り付けられており、両側の皿にのせたものの質量が等しいときに釣り合うように作られている。分銅は 3g のものと 8g のものを何個でも使うことができ、天秤ばかりの皿の上には分銅を何個でものせることができるものとする。以下では、物体 X の質量を $M$ (g)とし、 $M$ は自然数であるとする。

(1) 天秤ばかりの皿 A に物体 X をのせ、皿 B に 3g の分銅 3 個をのせたところ、天秤ばかりは B の側に傾いた。さらに、皿 A に 8g の分銅 1個をのせたところ、天秤ばかりは A の側に傾き、皿 B に 3g の分銅 2 個をのせると天秤ばかりは釣り合った。このとき、皿A、B にのせているものの質量を比較すると\[ M+8\times\myBox{ア} = 3\times\myBox{イ} \]が成り立ち、 $M=\myBox{ウ}$ である。上の式は\[ 3\times\mybox{イ}+8\times\left(-\mybox{ア} \right)=M \]と変形することができ、 $x=\mybox{イ}$, $y=-\mybox{ア}$ は、方程式 $3x+8y=M$ の整数解の一つである。


(2) $M=1$ のとき、皿 A に物体 X と 8g の分銅 $\myBox{エ}$ 個をのせ、皿 B に 3g の分銅 3 個をのせると釣り合う。

 よって、 $M$ がどのような自然数であっても、皿 A に物体 X と 8g の分銅 $\myBox{オ}$ 個をのせ、皿 B に 3g の分銅 $\myBox{カ}$ 個をのせることで釣り合うことになる。 $\myBox{オ}$, $\myBox{カ}$ に当てはまるものを、次の 0~5 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $M-1$
 1: $M$
 2: $M+1$

 3: $M+3$
 4: $3M$
 5: $5M$

(3) $M=20$ のとき、皿 A に物体 X と 3g の分銅 $p$ 個を、皿 B に 8g の分銅 $q$ 個をのせたところ、天秤ばかりが釣り合ったとする。このような自然数の組 $(p,q)$ のうちで、$p$ の値が最小であるものは $p=\myBox{キ}$, $q=\myBox{ク}$ であり、方程式 $3x+8y=20$ のすべての整数解は、整数 $n$ を用いて
\begin{eqnarray}
x &=& \myBox{ケコ}+\myBox{サ}n \\[5pt] y &=& \mybox{ク}-\myBox{シ}n \\[5pt] \end{eqnarray}と表すことができる。


(4) $M=\mybox{ウ}$ とする。3g と 8g の分銅を、他の質量の分銅の組み合わせに変えると、分銅をどのようにのせても天秤ばかりが釣り合わない場合がある。この場合の分銅の質量の組み合わせを、次の 0~3 のうちからすべて選べ。ただし、2種類の分銅は、皿 A、皿 B のいずれにも何個でものせることができるものとする。 $\myBox{ス}$

 0: 3g と 14g
 1: 3g と 21g
 2: 8g と 14g
 3: 8g と 21g


(5) 皿 A には物体 X のみをのせ、3g と 8g の分銅は皿 B にしかのせられないとすると、天秤ばかりを釣り合わせることでは $M$ の値を量ることができない場合がある。このような自然数 $M$ の値は $\myBox{セ}$ 通りあり、そのうち 最も大きい値は $\myBox{ソタ}$ である。

 ここで、 $M\gt\mybox{ソタ}$ であれば、天秤ばかりを釣り合わせることで $M$ の値を量ることができる理由を考えてみよう。 $x$ を 0 以上の整数とするとき、

 (i) $3x + 8 \times 0$ は 0 以上であって、3の倍数である。

 (ii) $3x + 8 \times 1$ は 8 以上であって、3 で割ると 2 余る整数である。

 (iii) $3x + 8 \times 2$ は 16 以上であって、3で割ると 1 余る整数である。

 $\mybox{ソタ}$ より大きな $M$ の値は、 (i)、(ii)、(iii) のいずれかに当てはまることから、0以上の整数 $x,y$ を用いて $M= 3x +8y$ と表すことができ、3g の 分銅 $x$ 個と 8g の分銅 $y$ 個を皿 B にのせることで $M$ の値を量ることができる。

 このような考え方で、0以上の整数 $x,y$ を用いて $3x + 2018y$ と表すことができないような自然数の最大値を求めると、 $\myBox{チツテト}$ である。

【広告】

考え方

天秤を使っているものの、不定一次方程式の問題です。苦手とする人は多いですが、入試問題の演習をした人なら、どれも、何回か練習したことのある内容でしょう。最後の問題も、考え方を親切に書いてくれているので、そのまま利用して考えましょう。