共通テスト数学I・数学A 2018年度プレテスト第1問 [1] 解説

🕒 2018/11/11 🔄 2023/05/01

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

　有理数全体の集合を $A$, 無理数全体の集合を $B$ とし、空集合を $\varnothing$ と表す。このとき、次の聞いに答えよ。

(1) 「集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分は空集合である」という命題を、記号を用いて表すと次のようになる。\[ A\cap B=\varnothing \]

「 $1$ のみを要素にもつ集合は集合 $A$ の部分集合である」という命題を、記号を用いて表せ。解答は、解答欄 $\myBox{(あ)}$ に記述せよ。

(2) 命題「 $x\in B$, $y\in B$ ならば、 $x+y\in B$ である」が偽であることを示すための反例となる $x,y$ の組を、次の 0～5 のうちから二つ選べ。必要ならば、 $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを用いてもよい。ただし、解答の順序は問わない。 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$

　0: $x=\sqrt{2}$, $y=0$
　1: $x=3-\sqrt{3}$, $y=\sqrt{3}-1$
　2: $x=\sqrt{3}+1$, $y=\sqrt{2}-1$

　3: $x=\sqrt{4}$, $y=-\sqrt{4}$
　4: $x=\sqrt{8}$, $y=1-2\sqrt{2}$
　5: $x=\sqrt{2}-2$, $y=\sqrt{2}+2$

考え方

集合と命題の問題です。

(1)は、集合に関する記号の問題です。記号を書かせる、というパターンもあるんですね。集合の表し方や、含むと属するの違いなど、間違いやすいので注意しましょう。

(2)は、反例となる組合せを考える問題です。反例とは何かが分かっていれば、それぞれの判定は難しくありません。

【必答問題】

解答編

問題

　有理数全体の集合を $A$, 無理数全体の集合を $B$ とし、空集合を $\varnothing$ と表す。このとき、次の聞いに答えよ。

(1) 「集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分は空集合である」という命題を、記号を用いて表すと次のようになる。\[ A\cap B=\varnothing \]

「 $1$ のみを要素にもつ集合は集合 $A$ の部分集合である」という命題を、記号を用いて表せ。解答は、解答欄 $\myBox{(あ)}$ に記述せよ。

解説

集合に関する記号の問題ですね。前半は、「文章を記号で表すというのは、こういうことだ」という説明です。

「1のみを要素に持つ集合」というのは、 $\{1\}$ と表します。集合は、各要素を並べて、波かっこでくくって表します。また、「部分集合である」ことは $\subset$ という記号を使って表します。よって、答えは、\[ \{1\}\subset A \]となります。

解答

あ： $\{1\}\subset A$

参考

【基本】部分集合

解答編つづき

問題

(2) 命題「 $x\in B$, $y\in B$ ならば、 $x+y\in B$ である」が偽であることを示すための反例となる $x,y$ の組を、次の 0～5 のうちから二つ選べ。必要ならば、 $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを用いてもよい。ただし、解答の順序は問わない。 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$

　0: $x=\sqrt{2}$, $y=0$
　1: $x=3-\sqrt{3}$, $y=\sqrt{3}-1$
　2: $x=\sqrt{3}+1$, $y=\sqrt{2}-1$

　3: $x=\sqrt{4}$, $y=-\sqrt{4}$
　4: $x=\sqrt{8}$, $y=1-2\sqrt{2}$
　5: $x=\sqrt{2}-2$, $y=\sqrt{2}+2$