センター試験 数学II・数学B 2019年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$数列 $\{a_n\}$ を次のように定める。
\begin{eqnarray}
& & a_1 = -5, \\[5pt] & & na_{n+1} = (n+2)a_n+4(n+1)\ \ (n=1,2,3,\cdots)
\end{eqnarray}

(1) $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。

 $b_n=\dfrac{a_n}{n(n+1)}$ とおくと、 $b_1=\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウ}}$ である。さらに、 $b_n$ と $b_{n+1}$ は関係式 $b_{n+1}-b_n=\dfrac{\myBox{エ}}{n\left(n+\myBox{オ}\right)}$ を満たす。

 ここで、すべての自然数 $k$ に対して\[ \frac{\mybox{エ}}{k\left(k+\mybox{オ}\right)} = \myBox{カ} \left( \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+\mybox{オ}} \right) \]が成り立つから、2以上の自然数 $n$ に対して\[
\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\mybox{エ}}{k\left(k+\mybox{オ}\right)} = \frac{\myBox{キ}n^2-n-\myBox{ク}}{n\left(n+\myBox{ケ}\right)} \]である。これを用いて数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めることにより\[ a_n=\dfrac{n^2-\myBox{コ}n-\myBox{サ}}{\myBox{シ}} \]であることがわかる。

(2) 数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が\[ S_n=n\left(\mybox{シ}a_n-24\right) \]で与えられるとき、 $\{c_n\}$ の一般項と、 $c_1$ から $c_{10}$ までの各項の絶対値の和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} |c_n|$ を求めよう。

 $c_1=\myBox{スセソ}$ である。また、 $n\geqq 2$ のとき\[ c_n = \left(n+\myBox{タ}\right) \left(\myBox{チ}n-\myBox{ツテ}\right) \quad \cdots ① \]である。①は $n=1$ のときにも成り立つから、 $\{c_n\}$ の一般項は①である。

 ①から、 $1\leqq n \leqq \myBox{ト}$ のとき $c_n\lt 0$ であり、 $n\gt \mybox{ト}$ のとき $c_n\gt 0$ である。よって\[ \sum_{n=1}^{10}|c_n|=\myBox{ナニ}S_{\mybox{ト}}+S_{10}=\myBox{ヌネノ} \]である。

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考え方

扱っているものは典型的なものが多いですが、難易度が高いものばかりです。

(1)では、部分分数に分解して和を求めたり、階差数列から一般項を求める問題です。計算量もわりとあるので、(1)の時点で結構ハードです。係数の間違いなどをしやすいので、 $n$ に具体的な値を入れて確認しながら進めていきましょう。

(2)もなかなかハードです。前半は、和から一般項を求める問題です。事前に練習しておけば、何を計算すればいいかはわかるかもしれませんが、計算はわりとあります。後半は、10項だけの和だし、一般項もわかっているので、どのように計算することもできるでしょう。最悪、全部書き出してもいいし、 $S_n$ を具体的な式で書いてもいいし、 $c_n$ の一般項を使って和の公式で計算することもできます。ここでの解答では、誘導にしたがって、 $S_n$ を具体的な式で書いていく方法を紹介しています。