センター試験 数学II・数学B 2019年度追試 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$点 O を原点とする座標空間に3点 $\mathrm{ P }(0,6,3)$, $\mathrm{ Q }(4,-2,-5)$, $\mathrm{ R }(12,0,-3)$ がある。3点 O, P, Q の定める平面を $\alpha$ とし、 $\alpha$ 上で $\angle \mathrm{ POQ }$ の二等分線 $\ell$ を考える。 $\ell$ 上に点 A を、 $|\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }|=9$ かつ $x$ 座標が正であるようにとる。また、 $\alpha$ 上に点 H を、 $\overrightarrow{ \mathrm{ HR } }\perp \overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ HR } }\perp \overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }$ であるようにとる。

(1) $|\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }|=\myBox{ア}\sqrt{\myBox{イ}}$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }|=\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ}}$ であるから、 A の座標は $\left(\myBox{オ},\ \myBox{カ},\ \myBox{キク}\right)$ であることがわかる。

(2) 点 H の座標と線分 HR の長さを求めよう。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\perp \vec{n}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }\perp\vec{n}$ であるベクトル $\vec{n}=\left(2,\ \myBox{ケコ},\ \myBox{サ}\right)$ に対し、 $\overrightarrow{ \mathrm{ HR } }=k\vec{n}$ とおくと $\overrightarrow{ \mathrm{ OH } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OR } }-k\vec{n}$ である。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OH } }\cdot\vec{n}=\myBox{シ}$ であるから、 $k=\myBox{ス}$ である。したがって、 H の座標は $\left(\myBox{セ},\ \myBox{ソ},\ \myBox{タチ}\right)$ であり、 HR の長さは $\myBox{ツ}$ である。

(3) 平面 $\alpha$ 上で点 A を中心とする半径 $1$ の円 $C$ を考える。点 B が $C$ 上を動くとき、線分 RB の長さの最大値と、そのときの B の座標を求めよう。

 AH の間の距離は $\myBox{テ}$ である。よって、 RB の長さの最大値は $\sqrt{\myBox{トナ}}$ である。また、 RB の長さが最大となる B は $\overrightarrow{ \mathrm{ HB } }=\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}\overrightarrow{ \mathrm{ HA } }$ を満たすから、求める B の座標は\[ \left( \dfrac{\myBox{ネノ}}{\myBox{ハ}}, \dfrac{\myBox{ヒフ}}{\mybox{ハ}}, \dfrac{\myBox{ヘホ}}{\mybox{ハ}} \right) \]である。

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発売日: 2011/09/06
380ページ

考え方

空間ベクトルで、しかも角の二等分線というのは、ハードそうな設定です。しかし、(1)の前半の計算であることに気づけば、それほど難しい状況ではないことがわかります。

(2)は、平面に垂直なベクトルについて考えます。これにより、点 R から平面 $\alpha$ までの距離がわかります。

(3)は、図がかきづらいので考えにくいですね。どういうときに RB が最大になるかを考えるには、正確な図をかけなくても大丈夫です。平面 $\alpha$ と点 R との位置関係から考えましょう。