センター試験 数学II・数学B 2019年度追試 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$p, q, r を実数とし、 $p\gt 0$ とする。関数 $f(x)=px^3+qx$ は $x=1$ で極値をとるとする。曲線 $y=f(x)$ を $C$, 直線 $y=-x+r$ を $\ell$ とする。

(1) $f'(1)=\myBox{ア}$ であるから、 $q=\myBox{イウ}p$ である。また、点 $(s,f(s))$ における曲線 $C$ の接線は\[ y=\left(\myBox{エ}ps^2-\myBox{オ}p\right)x-\myBox{カ}ps^3 \quad \cdots ① \]と表せる。よって、 $C$ の接線の傾きは、 $s=\myBox{キ}$ のとき最小値 $\myBox{クケ}p$ をとる。

(2) 曲線 $C$ と直線 $y=-x$ の共有点の個数は、 $\mybox{クケ}p\geqq \myBox{コサ}$ のとき $\myBox{シ}$ 個で、 $\mybox{クケ}p \lt \mybox{コサ}$ のとき $\myBox{ス}$ 個となる。

 $C$ と直線 $\ell$ の共有点の個数が、 $r$ の値によらず $\myBox{セ}$ 個となるのは $0\lt p \leqq \dfrac{\myBox{ソ}}{\myBox{タ}}$ のときであり、 $p\gt \dfrac{\mybox{ソ}}{\mybox{タ}}$ のときは $C$ と $\ell$ の共有点の個数が、 $r$ の値によって1個、2個、および3個の場合がある。

(3) $p\gt \dfrac{\mybox{ソ}}{\mybox{タ}}$ とし、曲線 $C$ と直線 $\ell$ が3個の共有点をもつような $r$ の値の範囲を $p$ を用いて表そう。点 $(s,f(s))$ における $C$ の接線の傾きが $-1$ となるのは $s=\pm\sqrt{\dfrac{\myBox{チ}p-\myBox{ツ}}{\myBox{テ}p}}$ のときである。したがって、傾きが $-1$ となる $C$ の接線は2本あり、 $\ell$ がこれらの接線のどちらかに一致するとき、 $C$ と $\ell$ の共有点は、 $\myBox{ト}$ 個となる。①を用いて、これら2本の接線と y 軸との交点を求めれば、 $C$ と $\ell$ が3個の共有点をもつような $r$ の絶対値の範囲は\[ |r|\lt \frac{\myBox{ナ}p-\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}} \sqrt{\dfrac{\mybox{チ}p-\mybox{ツ}}{\mybox{テ}p}} \]であることがわかる。

(4) $u$ を $1$ 以上の実数とする。 $t$ が $t\gt u$ の範囲を動くとき、曲線 $y=x^2-1$ と $x$ 軸および2直線 $x=u$, $x=t$ で囲まれた図形の面積が $f(t)$ とつねに等しいとする。このとき、 $p=\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}$ であり、 $u=\sqrt{\myBox{ハ}}$ となる。

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考え方

(1)は、極値や接線と微分との関係を考える問題です。

(2)は、式で考えてもグラフで考えても解けます。三次関数のほうがいろいろ動くので、グラフだと考えづらい人がいるかもしれません。三次関数のグラフがどうなるかに慣れていれば、直感的に答えがわかるでしょう。

(3)は、ごつそうな式が出てきますが、見た目ほど怖くはありません。誘導にしたがって計算していきましょう。

(4)は、面積を求める問題です。そのまま積分しても解けます。