センター試験 数学II・数学B 2019年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) $\log_2\myBox{タ}=0$, $\log_2\myBox{チ}=1$ である。また、 $100$ 以下の自然数 $x$ で $\log_2 x$ が整数になるものは全部で $\myBox{ツ}$ 個ある。

(2) $r=\log_2 3$ とおく。このとき、 $\log_2 54$ を $r$ を用いて表すと\[ \log_2 54=\myBox{テ}r +\myBox{ト} \]となる。また、 $\log_2 5$ と $\dfrac{r+3}{2}$, $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ と $r$ の大きさをそれぞれ比較すると
\begin{eqnarray}
& & \log_2 5\ \myBox{ナ}\ \frac{r+3}{2} \ , \\[5pt] & & \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{3}}\ \myBox{ニ}\ r
\end{eqnarray}である。 $\myBox{ナ}$, $\myBox{ニ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 2 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

(3) $k$ を $3$ 以上の整数とする。 $\log_k 2$ の値を調べよう。

 $n\leqq \log_k 2 \lt n+1$ を満たす整数 $n$ は $\myBox{ヌ}$ である。

 また、整数 $m$ について、不等式 $\dfrac{m}{10}\leqq \log_k 2$ は $\myBox{ネ}$ と書き直せることから、 $\log_k 2$ を小数で表したときの小数第1位の数字を求めることができる。 $\myBox{ネ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: $km \leqq 20$
 1: $k^m \leqq 20$
 2: $m^k \leqq 20$

 3: $km \leqq 2^{10}$
 4: $k^m \leqq 2^{10}$
 5: $m^k \leqq 2^{10}$

たとえば、 $\log_7 2$ の小数第1位の数字は $\myBox{ノ}$ であり、 $\log_k 2$ の小数第1位の数字が $2$ となる $k$ の値のうち最小のものは $\myBox{ハヒ}$ であることがわかる。

【広告】

考え方

(1)は、基本的な対数の性質がわかっているかどうかを確認する問題です。

(2)の前半は、対数の計算ですが、これも公式を用いるだけです。後半は大小比較ですが、真数の比較で解けるように変形する必要があります。

(3)は、前半の意味がわからないと、後半がわかりません。前半で考えた不等式から、小数第1位について何が言えるのかを考えましょう。直接的には関係ないですが、常用対数を学ぶときに桁数を求める問題をやっていれば、解きやすいかもしれません。