センター試験 数学II・数学B 2019年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$a を実数とする。座標平面上で、点 $(3,1)$ を中心とする半径 $1$ の円を C とし、直線 $y=ax$ を $\ell$ とする。

(1) 円 C の方程式は\[ x^2+y^2-\myBox{ア}x-\myBox{イ}y+\myBox{ウ}=0 \]である。

(2) 円 C と直線 $\ell$ が接するのは\[ a=\myBox{エ},\ \frac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}} \]のときである。

 $a=\dfrac{\mybox{オ}}{\mybox{カ}}$ のとき、 $C$ と $\ell$ の接点を通り、 $\ell$ に垂直な直線の方程式は\[ y=\frac{\myBox{キク}}{\myBox{ケ}}x+\myBox{コ} \]である。ただし、 $\myBox{キク}$, $\myBox{ケ}$, $\myBox{コ}$ は、文字 a を用いない形で答えること。

(3) 円 C と直線 $\ell$ が異なる2点 A, B で交わるとき、二つの交点を結ぶ線分 AB の長さは\[ \myBox{サ}\sqrt{\frac{\myBox{シ}a-\myBox{ス}a^2}{a^2+1}} \]である。また、 AB の長さが $2$ となるのは\[ a=\dfrac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}} \]のときである。

【広告】
□ 数学嫌いでも知らないともったいない「本当に使える数学」だけ凝縮
□ 灘、開成、東大、京大…絶対に飽きさせない「傑出した名問」を収録
著者: 永野 裕之
出版社: 大和書房
発売日: 2018/08/22
208ページ

考え方

(2)は、二次方程式のように解くこともできますが、図形と方程式の分野で学ぶ内容を使って解くことができます。円を、中心からの距離が一定である点の集まり、と考えるとわかりやすいでしょう。いろいろな解き方があるので、得意なやり方で考えるといいでしょう。

(3)の最後の部分は、その前に求めた式を使うこともできますし、使わずに解くこともできます。