センター試験 数学II・数学B 2019年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$a を実数とする。座標平面上で、点 $(3,1)$ を中心とする半径 $1$ の円を C とし、直線 $y=ax$ を $\ell$ とする。

(1) 円 C の方程式は\[ x^2+y^2-\myBox{ア}x-\myBox{イ}y+\myBox{ウ}=0 \]である。

(2) 円 C と直線 $\ell$ が接するのは\[ a=\myBox{エ},\ \frac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}} \]のときである。

 $a=\dfrac{\mybox{オ}}{\mybox{カ}}$ のとき、 $C$ と $\ell$ の接点を通り、 $\ell$ に垂直な直線の方程式は\[ y=\frac{\myBox{キク}}{\myBox{ケ}}x+\myBox{コ} \]である。ただし、 $\myBox{キク}$, $\myBox{ケ}$, $\myBox{コ}$ は、文字 a を用いない形で答えること。

(3) 円 C と直線 $\ell$ が異なる2点 A, B で交わるとき、二つの交点を結ぶ線分 AB の長さは\[ \myBox{サ}\sqrt{\frac{\myBox{シ}a-\myBox{ス}a^2}{a^2+1}} \]である。また、 AB の長さが $2$ となるのは\[ a=\dfrac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}} \]のときである。

【広告】
河合塾数学科の考える「思考力・判断力・表現力」をまとめ、これに基づいて過去の入試問題を分析し、その中から思考力を養うために経験しておきたい問題を収集し解答・解説を収録。また、思考調査の問題を参考にして「共通テスト型問題」を作成。
著者: 河合塾数学科
出版社: 河合出版
発売日: 2018/06/01
125ページ

考え方

(2)は、二次方程式のように解くこともできますが、図形と方程式の分野で学ぶ内容を使って解くことができます。円を、中心からの距離が一定である点の集まり、と考えるとわかりやすいでしょう。いろいろな解き方があるので、得意なやり方で考えるといいでしょう。

(3)の最後の部分は、その前に求めた式を使うこともできますし、使わずに解くこともできます。