センター試験 数学II・数学B 2019年度追試 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

(注:正規分布表は省略しています)

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。

 全国規模の検定試験が毎年行われており、この試験の満点は200点で、点数が100点以上の人が合格となる。今年度行われた第1回目の試験と第2回目の試験について考える。

(1) 第1回目の試験については、受験者全体での平均点が95点、標準偏差が20点であることだけが公表されている。受験者全体での点数の分布を正規分布とみなして、この試験の合格率を求めよう。試験の点数を表す確率変数を $X$ としたとき、 $Z=\dfrac{X-\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}$ が標準正規分布に従うことを利用すると\[ P(X\geqq 100) = P\left(Z\geqq \myBox{オ}.\myBox{カキ}\right) \]により、合格率は $\myBox{クケ}$ %である。

 また、点数が受験者全体の上位10%の中に入る受験者の最低点はおよそ $\myBox{コ}$ である。 $\myBox{コ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: 116点
 1: 121点
 2: 126点

 3: 129点
 4: 134点
 5: 142点

(2) 第1回目の試験の受験者全体から無作為に19名を選んだとき、その中で点数が受験者全体の上位10%に入る人数を表す確率変数を $Y$ とする。

 $Y$ の分布を二項分布とみなすと、 $Y$ の期待値は $\myBox{サ}.\myBox{シ}$, 分散は $\myBox{ス}.\myBox{セソ}$ である。

 また、 $Y=1$ となる確率を $p_1$ 、 $Y=2$ となる確率を $p_2$ とする。このとき、 $\dfrac{p_1}{p_2}=\myBox{タ}$ である。 $\myBox{タ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $\dfrac{1}{9}$
 1: $\dfrac{1}{2}$

 2: $1$
 3: $2$
 4: $9$

(3) 第2回目の試験の受験者全体の平均値と標準偏差はまだ公開されていない。第2回目の試験の受験者全体を母集団としたときの母平均 $m$ を推定するため、この受験者から無作為に抽出された96名の点数を調べたところ、標準平均の値は99点であった。

 母標準偏差の値を第1回目の試験と同じ20点であるとすると、標本平均の分布が正規分布が近似できることを用いて、 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間は\[ \myBox{チツ}\leqq m \leqq \myBox{テトナ} \]となり、この信頼区間の幅は $\myBox{ニ}$ である。ただし、 $\sqrt{6}=2.45$ とする。

 また、母標準偏差の値が15点であるとすると、 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間の幅は $\myBox{ヌ}$ となる。

【広告】

考え方

(1)は、標準正規分布に変換して確率を計算する問題です。正規分布表の見方をマスターしていれば、難しくはないでしょう。

(2)は、二項分布の計算です。後半は、反復試行の確率と考えます。

(3)は、母平均の推定で、これも標準的な問題です。計算が複雑そうに見えますが、きれいに計算できます。