【基本】数列の和と一般項

ここでは、数列の和から一般項を求める問題を見ていきます。

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数列の和から一般項を求める

例題
初項から第 n 項までの和 $S_n$ が $S_n=2n^2+2n$ で表される数列 $\{a_n\}$ がある。この数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めなさい。

【基本】数列の和、という数列で見たように、数列の和ともとの数列との関係を考えましょう。

$n\geqq 2$ のときは、 $S_n$ は初項から第 n 項までの和、 $S_{n-1}$ は初項から第 $n-1$ 項までの和です。この差は、第 n 項、つまり、 $a_n$ です。このことを利用すれば、一般項が求められるんですね。

このことから、
\begin{eqnarray}
a_n
&=&
S_n -S_{n-1} \\[5pt] &=&
(2n^2+2n) -\{2(n-1)^2+2(n-1)\} \\[5pt] &=&
2n^2+2n -(2n^2-4n+2+2n-2) \\[5pt] &=&
2n^2+2n -2n^2+2n \\[5pt] &=&
4n \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

ここで注意が必要なのは、これが成り立つのは、 $n\geqq 2$ のときだけ、ということでしたね。 $n=1$ のときは、「第 $n-1$ 項までの和」が意味をなさないので、この場合だけ別に考える必要がありました。この場合は、 $S_1=a_1$ であることを使って、値を求めることができます。条件の式に代入すると
\begin{eqnarray}
a_1
&=&
S_1 \\[5pt] &=&
2\cdot 1^2+2\cdot 1 \\[5pt] &=&
4
\end{eqnarray}となります。これは、上で求めた $n\geqq 2$ のときの式 $a_n=4n$ に代入しても成り立ちます。

以上から、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n=4n$ となる、というのが答えになります。

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初項を分けて考える必要はあるのか

【基本】階差数列と一般項のときもそうでしたが、上の例題でも初項だけ別で考える必要がありました。このことについて、少し考えてみましょう。

もし、上の例題での $S_n$ が\[ S_n=2n^2+2n+1 \]だったとしましょう。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項はどうなるでしょうか。

同じように、 $S_n-S_{n-1}$ を計算すると
\begin{eqnarray}
a_n
&=&
S_n -S_{n-1} \\[5pt] &=&
(2n^2+2n+1) -\{2(n-1)^2+2(n-1)+1\} \\[5pt] &=&
(2n^2+2n) -\{2(n-1)^2+2(n-1)\} \\[5pt] &=&
4n \\[5pt] \end{eqnarray}となります。下から2行目は、先ほどと同じ式なので、答えももちろん同じになります。つまり、 $n\geqq 2$ のときは、一般項は、先ほどの例題と同じ式で表される、ということですね。

しかし、和は先ほどと違うので、数列のどこかが違う結果になるはずです。その違う項が、初項です。

今の場合、初項を計算してみると
\begin{eqnarray}
a_1
&=&
S_1 \\[5pt] &=&
2\cdot 1^2+2\cdot 1+1 \\[5pt] &=&
5
\end{eqnarray}となります。これは、 $a_n=4n$ を満たしません。

この例からもわかる通り、 $a_n=S_n-S_{n-1}$ の式は、 $n\geqq 2$ のときだけで成り立ち、 $n=1$ のときは、別に考える必要がある、ということがわかります。 $S_0=0$ と考えればいいわけではありません。

先ほどの例題では、「たまたま」 $n=1$ のときも $a_n=4n$ を満たしていたので、「数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n=4n$ で表すことができる」といえました。今回は、 $n=1$ のときには成り立たないので、解答する場合は「 $a_1=5$ で、 $n\geqq 2$ のときは $a_n=4n$ 」というように答える必要があります。

おわりに

ここでは、数列の和から一般項を求める問題を考えました。考え方は一度聞くと理解できると思いますが、初項だけ扱いが違う、という点には注意しましょう。