センター試験 数学I・数学A 2020年度追試 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ PBD }$ の辺 PB 上に2点 P, B のいずれとも異なる点 A をとり、辺 PD 上に2点 P, D のいずれとも異なる点 C をとる。4点 A, B, C, D が同一円周上にあり、 $\mathrm{ AB }=2$, $\mathrm{ PC }=2$, $\mathrm{ PD }=12$ のとき、 $\mathrm{ PA }=\myBox{ア}$ である。

 点 M を線分 AB の中点とし、点 N を線分 CD の中点とする。線分 AB を直径とする円と線分 CD を直径とする円が点 E で接していて、3点 M, E, N が一直線上にこの順に並んでいるとする。このとき\[ \mathrm{ MN }=\myBox{イ}\ ,\ \mathrm{ PE }=\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ}} \]である。また\[ \cos\angle \mathrm{ MPN }=\dfrac{\myBox{オカ}}{\myBox{キク}} \]である。

 線分 PN 上に点 F を直線 MF と直線 PN が垂直に交わるようにとり、線分 PM 上に点 G を直線 NG と直線 PM が垂直に交わるようにとる。このとき\[ \mathrm{ PF }=\frac{\myBox{ケコ}}{\myBox{サ}}\ ,\ \mathrm{ PG }=\frac{\myBox{シス}}{\myBox{セ}} \]である。さらに、線分 MF と線分 NG の交点を J とする。このとき\[ \mathrm{ JE }=\frac{\myBox{ソ}\sqrt{\myBox{タ}}}{\myBox{チツ}} \]である。

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考え方

図がかきにくい上、PE がどういう直線なのかがわからないと、なかなか進めません。しかも、それが序盤に出てくるのでやっかいです。それさえわかれば、後半は特に難しいところはありません。

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