センター試験 数学I・数学A 2020年度追試 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABP }$ において、 $\mathrm{ AP }=6$, $\mathrm{ BP }=2\sqrt{17}$, $\sin\angle \mathrm{ PAB }=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$, $\mathrm{ AB }\lt \mathrm{ AP }$ とする。

 次の $\mybox{イ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 2 のうちから一つ選べ。

 $\mathrm{ AB }=\myBox{ア}$ であり、 $\angle \mathrm{ PAB }$ は $\myBox{イ}$ である。

 0: 鋭角
 1: 直角
 2: 鈍角

 直線 AB 上に点 C を、3点 A, B, C がこの順に並び、かつ $\mathrm{ CP }=3\sqrt{17}$ となるようにとる。このとき\[ \mathrm{ AC }=\myBox{ウ}\ , \ \mathrm{ BC }=\myBox{エ} \]である。したがって、 $\triangle \mathrm{ PBC }$ の外接円の半径 $R$ は\[ R=\frac{\myBox{オカ}\sqrt{\myBox{キ}}}{\myBox{ク}} \]である。この外接円の中心を O とすると\[ \mathrm{ AO }^2-R^2=\myBox{ケコ} \]である。

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考え方

最初からなかなか取り組みにくいです。場合分けなどが必要で、少し手間取りそうです。

最初さえクリアできれば、後はよくあるながれが続きますが、最後はまた少し考えないといけません。 $\mathrm{ AO }^2$ を直接求めるのは難しそうなので、図形をよく見て工夫して求めるようにしましょう。

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