センター試験 数学I・数学A 2020年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})=\myBox{アイ}$ であるから、 $19-5\sqrt{13}$ は正の実数である。 $19+5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\alpha$ とし、 $19-5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\beta$ とする。このとき
\begin{eqnarray}
& & \alpha^2+\beta^2 = \myBox{ウエ}\ , \\[5pt] & & \alpha\beta=\myBox{オ}
\end{eqnarray}であり
\begin{eqnarray}
& & (\alpha+\beta)^2=\myBox{カキ}\ ,\\[5pt] & & (\alpha-\beta)^2=\myBox{クケ}
\end{eqnarray}である。したがって
\begin{eqnarray}
\alpha&=&\dfrac{\myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ}}+\sqrt{\myBox{シス}}}{\myBox{セ}} \\[5pt] \beta&=&\dfrac{\mybox{コ}\sqrt{\mybox{サ}}-\sqrt{\mybox{シス}}}{\mybox{セ}}
\end{eqnarray}である。

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考え方

二重根号という言葉や記号が出てこないだけで、実際には二重根号の問題です。ただ、誘導に乗っていけば、二重根号をはずした形が導けます。式の値について練習していれば、見た目ほど怖くなく、よくある式変形だとわかるでしょう。