センター試験 数学I・数学A 2020年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$a$ を定数とする。実数 $x$ に関する二つの条件 $p,q$ を次のように定める。

 $p:$ $-1\leqq x\leqq 3$
 $q:|x-a|\gt 3$

 条件 $p,q$ の否定をそれぞれ $\bar{p}$, $\bar{q}$ で表す。

(1) 命題「 $p\implies q$ 」が真であるような $a$ の値の範囲は\[ a\lt\myBox{ソタ},\ \myBox{チ}\lt a \]である。

(2) $a=\mybox{チ}$ のとき、 $x=\myBox{ツ}$ は命題「 $p\implies q$ 」の反例である。

(3) 実数 $x$ に関する条件 $r$ を次のように定める。

 $r:$ $3\lt x\leqq 4$

 次の $\mybox{テ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 $a=1$ のとき、条件「 $\bar{p}$ かつ $\bar{q}$ 」は条件 $r$ であるための $\myBox{テ}$ 。

 0: 必要条件であるが、十分条件ではない
 1: 十分条件であるが、必要条件ではない
 2: 必要十分条件である
 3: 必要条件でも十分条件でもない

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考え方

式のまま考えていくのは難しいので、数直線を書いて考えましょう。集合と命題との対応を考えて解いていきましょう。