センター試験 数学I・数学A 2020年度追試 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 不定方程式\[ 7x-31y=1 \quad \cdots ① \]を満たす自然数 $x,y$ の組の中で、 $x$ が最小のものは\[ x=\myBox{ア},\ y=\myBox{イ} \]であり、不定方程式①のすべての整数解は、 $k$ を整数として
\begin{eqnarray}
x &=& \myBox{ウエ}k+\mybox{ア}, \\[5pt] y &=& \myBox{オ}k+\mybox{イ}
\end{eqnarray}と表せる。

(2) 自然数 $n$ に対して $n^2$ を $\mybox{オ}$ で割った余りが $\mybox{イ}$ となるのは、 $n$ を $\mybox{オ}$ で割った余りが、 $\myBox{カ}$ または $\myBox{キ}$ のときである。ただし、 $\mybox{カ}$, $\mybox{キ}$ の解答の順序は問わない。

(3) 不定方程式①の整数解 $y$ のうち、ある自然数 $n$ を用いて $y=n^2$ と表せるものを小さい方から四つ並べると\[ \myBox{ク}\ ,\ \myBox{ケコ}\ ,\ \myBox{サシス}\ ,\ \myBox{セソタ} \]である。

(4) $\sqrt{31(7x-1)}$ が整数であるような自然数 $x$ のうち、 $x\geqq 1000$ を満たす最小のものは $\myBox{チツテト}$ である。 $x$ が $\mybox{チツテト}$ のとき、 $\sqrt{31(7x-1)}$ の値は $\myBox{ナニヌ}$ である。

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(2020年10月 時点の情報です)

考え方

(3)や(4)は、その前に求めた結果をどのように使うのかをよく考えないといけません。特に、(4)は、(1)の $k$ や(2), (3)の $n$ の値の範囲をしぼることも考える必要があり、難しいです。

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