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センター試験 数学I・数学A 2020年度追試 第1問 [3] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 $a$ を $4$ 以上の定数とし、 $f(x)=(x-a)(x-4)+4$ とおく。

(1) 2次関数 $y=f(x)$ の最小値は $\dfrac{\myBox{トナ} }{\myBox{ニ} }a^2+\myBox{ヌ}a$ である。

(2) 2次関数 $y=f(x)$ の $a-2\leqq x\leqq a+2$ における最大値は $\myBox{ネ}a$ である。

 また、2次関数 $y=f(x)$ の $a-2\leqq x\leqq a+2$ における最小値は $4\leqq a\leqq \myBox{ノ}$ のとき、 $\dfrac{\mybox{トナ} }{\mybox{ニ} }a^2+\mybox{ヌ}a$ であり、 $\mybox{ノ}\lt a$ のとき、 $\myBox{ハヒ}a+\myBox{フヘ}$ である。

考え方

$a$ の値によって、関数も動くし区間も動く、ということで、考えづらいです。ただ、頂点、区間の両端の位置関係さえつかめれば、後の計算はそれほど大変ではありません。

解答欄から答えがほぼわかってしまうので、問題としては少しいまいちかもしれません。


【必答問題】

解答編

問題

 $a$ を $4$ 以上の定数とし、 $f(x)=(x-a)(x-4)+4$ とおく。

(1) 2次関数 $y=f(x)$ の最小値は $\dfrac{\myBox{トナ} }{\myBox{ニ} }a^2+\myBox{ヌ}a$ である。

解説

\begin{eqnarray} f(x) &=& (x-a)(x-4)+4 \\[5pt] &=& x^2-(a+4)x+4a+4 \\[5pt] &=& \left( x-\frac{a+4}{2} \right)^2 -\left(\frac{a+4}{2}\right)^2 +4a+4 \\[5pt] &=& \left( x-\frac{a+4}{2} \right)^2 -\frac{a^2+8a+16}{4} +4a+4 \\[5pt] &=& \left( x-\frac{a+4}{2} \right)^2 -\frac{a^2}{4}+2a \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $y=f(x)$ の最小値は $\dfrac{-1}{4}a^2+2a$ です。

解答

トナニヌ:-142

解答編 つづき

問題

(2) 2次関数 $y=f(x)$ の $a-2\leqq x\leqq a+2$ における最大値は $\myBox{ネ}a$ である。

解説

(1)での計算から、この放物線の軸は $x=\dfrac{a+4}{2}$ です。

最大値は、区間の両端のうち、軸から遠い方を考えればいいので、軸からの距離を考えます。右端は
\begin{eqnarray} & & \left|a+2-\frac{a+4}{2} \right| \\[5pt] &=& \left|\frac{a}{2} \right| = \frac{a}{2} \end{eqnarray}であり、左端と放物線との距離は \begin{eqnarray} & & \left|a-2-\frac{a+4}{2} \right| \\[5pt] &=& \left|\frac{a}{2}-4 \right| \end{eqnarray}です。これより、右端のほうが遠いことがわかるので、最大値は \begin{eqnarray} & & f(a+2) \\[5pt] &=& (a+2-a)(a+2-4)+4 \\[5pt] &=& 2(a-2)+4 \\[5pt] &=& 2a \end{eqnarray}と求められます。

もしくは、区間の両端での値を調べて比較してもいいです。左端での値は
\begin{eqnarray} & & f(a-2) \\[5pt] &=& (a-2-a)(a-2-4)+4 \\[5pt] &=& -2(a-6)+4 \\[5pt] &=& -2a+16 \end{eqnarray}です。右端での値から左端での値を引くと $2a-(-2a+16)=4a-16$ ですが、 $a$ は $4$ 以上なので、この値は $0$ 以上、つまり、右端での値が最大値であることがわかります。

解答

ネ:2

解答編 つづき

問題

 また、2次関数 $y=f(x)$ の $a-2\leqq x\leqq a+2$ における最小値は $4\leqq a\leqq \myBox{ノ}$ のとき、 $\dfrac{\mybox{トナ} }{\mybox{ニ} }a^2+\mybox{ヌ}a$ であり、 $\mybox{ノ}\lt a$ のとき、 $\myBox{ハヒ}a+\myBox{フヘ}$ である。

解説

最小値が $-\dfrac{a^2}{4}+2a$ となるのは、頂点が区間に入っているとき、つまり、\[ a-2\leqq \dfrac{a+4}{2}\leqq a+2 \]のときです。左側の不等式を解くと $a\leqq 8$ です。右側の不等式を解くと $a\geqq 0$ ですが、今考えている範囲では $a\geqq 4$ です。

以上から、 $4\leqq a\leqq 8$ のときに、 $x=\dfrac{a+4}{2}$ で最小値 $-\dfrac{a^2}{4}+2a$ をとることがわかります。

$a\gt 8$ のときは、ここまでの計算を逆にたどっていくと、 $a-2\gt \dfrac{a+4}{2}$ になることがわかります。つまり、この場合は、\[ \frac{a+4}{2}\lt a-2 \lt a+2 \]が成り立ちます。よって、この場合、 $a-2\leqq x\leqq a+2$ における $y=f(x)$ の最小値は区間の左端でとることがわかり、その値は
\begin{eqnarray} & & f(a-2) \\[5pt] &=& (a-2-a)(a-2-4)+4 \\[5pt] &=& -2(a-6)+4 \\[5pt] &=& -2a+16 \end{eqnarray}と求められます。

解答

ノ:8
ハヒフヘ:-216

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