センター試験 数学I・数学A 2020年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$つぼの中に6個の赤玉と4個の白玉の合計10個の玉が入っている。このつぼから、玉を1個ずつ10回続けて取り出す。ただし、一度取り出した玉はもとに戻さないものとする。

(1) 1回目と2回目に連続して赤玉が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ である。

(2) $i$ を $2$ から $9$ までの整数とし、 $i$ 回目と $(i+1)$ 回目に連続して赤玉が取り出される確率 $p_i$ を考える。同じ色の玉は区別しない場合、10個すべての玉の取り出し方は、取り出した玉を1列に並べる並べ方の総数に等しく、 $\myBox{ウエオ}$ 通りである。それらのうち、8回目の取り出しを終えた時点で白玉がすべて取り出されている取り出し方は $\myBox{カキ}$ 通りである。よって、 $p_9$ の値は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$ である。また、 $p_3$ の値は $\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ である。

(3) 4回目の取り出しを終えた時点で赤玉が2個以上取り出されている確率は $\dfrac{\myBox{シス}}{\myBox{セソ}}$ である。よって、4回目の取り出しを終えた時点で赤玉が2個以上取り出されていたとき、1回目と2回目に連続して赤玉が取り出されている条件付き確率は $\dfrac{\myBox{タチ}}{\myBox{ツテ}}$ である。

(4) 4回目の取り出しを終えた時点で赤玉が2個以上取り出されていたとき、9回目と10回目に連続して赤玉が取り出される条件付き確率は $\dfrac{\myBox{トナ}}{\myBox{ニヌネ}}$ である。

(5) つぼからまず3個の玉を同時に取り出して、玉の色は確認せずに印をつけてつぼに戻したのち、改めて玉を1個ずつ10回続けて取り出す。一度取り出した玉はもとに戻さない。9回目と10回目に連続して印のついた赤玉が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ノ}}{\myBox{ハヒ}}$ である。

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考え方

(4)まででも十分難しいですが、(5)でとどめを刺しに来ています。

どのように考えるかで複雑さが変わってきますが、考え方の方針は(2)で与えられているので、これにそっていくのがいいでしょう。

(5)は、問題文にある通りの操作を考えるのは難しいかもしれません。問題文を言い換えてから考えないと求めにくいと思います。