センター試験 数学I・数学A 2020年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})=\myBox{アイ}$ であるから、 $19-5\sqrt{13}$ は正の実数である。 $19+5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\alpha$ とし、 $19-5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\beta$ とする。このとき
\begin{eqnarray} & & \alpha^2+\beta^2 = \myBox{ウエ}\ , \\[5pt] & & \alpha\beta=\myBox{オ} \end{eqnarray}であり \begin{eqnarray} & & (\alpha+\beta)^2=\myBox{カキ}\ ,\\[5pt] & & (\alpha-\beta)^2=\myBox{クケ} \end{eqnarray}である。したがって \begin{eqnarray} \alpha&=&\dfrac{\myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ} }+\sqrt{\myBox{シス} }}{\myBox{セ} } \\[5pt] \beta&=&\dfrac{\mybox{コ}\sqrt{\mybox{サ} }-\sqrt{\mybox{シス} }}{\mybox{セ} } \end{eqnarray}である。

考え方

二重根号という言葉や記号が出てこないだけで、実際には二重根号の問題です。ただ、誘導に乗っていけば、二重根号をはずした形が導けます。式の値について練習していれば、見た目ほど怖くなく、よくある式変形だとわかるでしょう。

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【必答問題】

解答編

問題

　$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})=\myBox{アイ}$ であるから、 $19-5\sqrt{13}$ は正の実数である。

解説

\begin{eqnarray} (19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13}) &=& 19^2-5^2\cdot 13 \\[5pt] &=& 361-325 \\[5pt] &=& 36 \end{eqnarray}となります。 $19-5\sqrt{13}$ に正の数を掛けると正になることから、この数は正であることがわかり、以下の問題で、この数の平方根を考えることができることがわかります。

解答

アイ：36

解答編 つづき

問題

$19+5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\alpha$ とし、 $19-5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\beta$ とする。このとき
\begin{eqnarray} & & \alpha^2+\beta^2 = \myBox{ウエ}\ , \\[5pt] & & \alpha\beta=\myBox{オ} \end{eqnarray}であり \begin{eqnarray} & & (\alpha+\beta)^2=\myBox{カキ}\ ,\\[5pt] & & (\alpha-\beta)^2=\myBox{クケ} \end{eqnarray}である。

解説

$\alpha^2=19+5\sqrt{13}$, $\beta^2=19-5\sqrt{13}$ なので、 $\alpha^2+\beta^2=38$ です。

また、アイで求めた通り、 $\alpha^2\beta^2=36$ なので、 $\alpha\beta=6$ です。

\begin{eqnarray} (\alpha+\beta)^2 &=& \alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2 \\[5pt] &=& 38+2\cdot 6 \\[5pt] &=& 50 \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} (\alpha-\beta)^2 &=& \alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2 \\[5pt] &=& 38-2\cdot 6 \\[5pt] &=& 26 \end{eqnarray}となります。

解答

ウエ：38
オ：6
カキ：50
クケ：26

解答編 つづき

問題

したがって
\begin{eqnarray} \alpha&=&\dfrac{\myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ} }+\sqrt{\myBox{シス} }}{\myBox{セ} } \\[5pt] \beta&=&\dfrac{\mybox{コ}\sqrt{\mybox{サ} }-\sqrt{\mybox{シス} }}{\mybox{セ} } \end{eqnarray}である。

解説

$\alpha\gt\beta$ であり、どちらも正なので、 $\alpha+\beta=\sqrt{50}$, $\alpha-\beta=\sqrt{26}$ です。辺々足すと
\begin{eqnarray} 2\alpha &=& 5\sqrt{2}+\sqrt{26} \\[5pt] \alpha &=& \frac{5\sqrt{2}+\sqrt{26} }{2} \\[5pt] \end{eqnarray}であり、これより\[ \beta=\dfrac{5\sqrt{2}-\sqrt{26} }{2} \]と求められます。

解答

コサシスセ：52262