センター試験 数学I・数学A 2019年度 第1問 [1] 解説
【必答問題】
問題編
問題
$a$ を実数とする。
$9a^2-6a+1=\left(\myBox{ア}a-\myBox{イ}\right)^2$ である。次に\[ A=\sqrt{9a^2-6a+1}+|a+2| \]とおくと\[ A=\sqrt{\left(\mybox{ア}a-\mybox{イ}\right)^2} +|a+2| \]である。
次の三つの場合に分けて考える。
・ $a\gt\dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=\myBox{ウ}a+\myBox{エ}$ である。
・ $-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=\myBox{オカ}a+\myBox{キ}$ である。
・ $a\lt -2$ のとき、 $A=-\mybox{ウ}a-\mybox{エ}$ である。
$A=2a+13$ となる $a$ の値は\[ \myBox{ク},\ \dfrac{\myBox{ケコ} }{\myBox{サ} } \]である。
考え方
絶対値や根号を、場合分けをして外す問題です。場合分けの方法も書いてくれているので、誘導にのっていけば問題ないでしょう。
最後も、それぞれどのような場合を考えているか、注意して考えましょう。答えは3つではなく2つになります。
【必答問題】
解答編
問題
$a$ を実数とする。
$9a^2-6a+1=\left(\myBox{ア}a-\myBox{イ}\right)^2$ である。次に\[ A=\sqrt{9a^2-6a+1}+|a+2| \]とおくと\[ A=\sqrt{\left(\mybox{ア}a-\mybox{イ}\right)^2} +|a+2| \]である。
解説
\[ 9a^2-6a+1=(3a-1)^2 \]となるので、\[ A=\sqrt{(3a-1)^2}+|a+2| \]となります。
解答
アイ：31
解答編 つづき
問題
次の三つの場合に分けて考える。
・ $a\gt\dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=\myBox{ウ}a+\myBox{エ}$ である。
・ $-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=\myBox{オカ}a+\myBox{キ}$ である。
・ $a\lt -2$ のとき、 $A=-\mybox{ウ}a-\mybox{エ}$ である。
解説
$a\geqq\dfrac{1}{3}$ のときは、 $\sqrt{(3a-1)^2}$ は $3a-1$ であり、 $a\lt \dfrac{1}{3}$ のときは $1-3a$ となります。
また、 $a\geqq -2$ のときは $|a+2|$ は $a+2$ であり、 $a\lt -2$ のときは $-a-2$ となります。
以上から、 $a\gt\dfrac{1}{3}$ のときは、\[ A=3a-1+a+2=4a+1 \]となり、$-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ のときは、\[ A=1-3a+a+2=-2a+3 \]となり、 $a\lt -2$ のときは\[ A=1-3a-a-2=-4a-1 \]となります。
解答
ウエ：41
オカキ：-23
解答編 つづき
問題
$A=2a+13$ となる $a$ の値は\[ \myBox{ク},\ \dfrac{\myBox{ケコ} }{\myBox{サ} } \]である。
解説
場合分けをして考えていきましょう。
$a\gt\dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=4a+1$ なので、これが $2a+13$ と等しいなら
\begin{eqnarray}
4a+1 &=&2a+13 \\[5pt]
a &=& 6 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。これは $a\gt\dfrac{1}{3}$ を満たしています。
$-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=-2a+3$ なので、これが $2a+13$ と等しいなら
\begin{eqnarray}
-2a+3 &=& 2a+13 \\[5pt]
-4a &=& 10 \\[5pt]
a &=& -\frac{5}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となりますが、これは $-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ を満たしません。よって、このときは解がありません。
$a\lt -2$ のとき、 $A=-4a-1$ である。これが $2a+13$ と等しいなら
\begin{eqnarray}
-4a-1 &=&2a+13 \\[5pt]
-6a &=&14 \\[5pt]
a &=& -\frac{7}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。これは $a\lt -2$ を満たしています。
以上から、解は $a=6,-\dfrac{7}{3}$ となります。
解答
ク：6
ケコサ：-73
