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センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第1問 [3] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 a を定数とし、次の2つの関数を考える。

 $f(x)=(1-2a)x^2+2x-a-2$
 $g(x)=(a+1)x^2+ax-1$

(1) 関数 $y=g(x)$ のグラフが直線になるのは、 $a=\myBox{ソタ}$ のときである。このとき、関数 $y=f(x)$ のグラフと x 軸との交点の x 座標は $\myBox{チツ}$ と $\dfrac{\myBox{テ} }{\myBox{ト} }$ である。

(2) 方程式 $f(x)+g(x)=0$ がただ1つの実数解をもつのは、 a の値が\[ \pm\frac{\myBox{ナ}\sqrt{\myBox{ニヌ} }}{\myBox{ネ} },\ \myBox{ノ} \]のときである。

考え方

問題文では「2つの関数を考える」と書いていて、「2つの二次関数を考える」とは書いていません。これは、 $x^2$ の係数が 0 の可能性があるからです。実際、(1)では、そういう状況を考える問題となっています。

(1)によって、「直線の場合もありえる」ことに気づけるため、(2)のヒントになっています。2次関数と1次関数の場合で、わけて考えましょう。


【必答問題】

解答編

問題

 a を定数とし、次の2つの関数を考える。

 $f(x)=(1-2a)x^2+2x-a-2$
 $g(x)=(a+1)x^2+ax-1$

(1) 関数 $y=g(x)$ のグラフが直線になるのは、 $a=\myBox{ソタ}$ のときである。このとき、関数 $y=f(x)$ のグラフと x 軸との交点の x 座標は $\myBox{チツ}$ と $\dfrac{\myBox{テ} }{\myBox{ト} }$ である。

解説

$y=g(x)$ のグラフが直線になるのは、 $x^2$ の項が 0 のときなので、 $a+1=0$ 、つまり、 $a=-1$ のときです。

このとき、 $f(x)$ は、次のようになります。
\begin{eqnarray} f(x) &=& (1-2a)x^2 +2x -a-2 \\[5pt] &=& (1+2)x^2 +2x +1-2 \\[5pt] &=& 3x^2 +2x -1 \\[5pt] &=& (3x-1)(x+1) \\[5pt] \end{eqnarray}これから、 $y=f(x)$ のグラフと x 軸との交点の x 座標は、 $f(x)=0$ を解いて、 $x=-1,\dfrac{1}{3}$ であることがわかります。

解答

ソタ:-1
チツ:-1
テト:13

解答編 つづき

問題

(2) 方程式 $f(x)+g(x)=0$ がただ1つの実数解をもつのは、 a の値が\[ \pm\frac{\myBox{ナ}\sqrt{\myBox{ニヌ} }}{\myBox{ネ} },\ \myBox{ノ} \]のときである。

解説

$f(x)+g(x)=0$ がただ1つの実数解を持つときは、左辺が2次式か1次式かで変わってきます。2次式であれば、判別式が 0 となるときを考えればいいですね。1次式であればいつでも実数解を持ちます。

まずは、左辺がどうなるかを具体的に書いてみましょう。
\begin{eqnarray} f(x)+g(x) &=& (1-2a)x^2+2x-a-2 \\ & & +(a+1)x^2+ax-1 \\[5pt] &=& (2-a)x^2+(2+a)x-a-3 \\[5pt] \end{eqnarray}まず、これが1次式となるときを考えましょう。それは $x^2$ の項が 0 となるときなので、 $a=2$ のときです。このとき、上の式は\[ 4x-5 \]となり、確かに $f(x)+g(x)=0$ はただ1つの実数解を持ちます。

次に、 $a\ne 2$ のとき、つまり、2次式になる場合を考えましょう。これは、判別式が 0 になるときを考えればいいので
\begin{eqnarray} (2+a)^2-4(2-a)(-a-3) &=& 0 \\[5pt] a^2+4a+4 -4(a^2+a-6) &=& 0 \\[5pt] -3a^2+28 &=& 0 \\[5pt] a^2 &=& \frac{28}{3} \\[5pt] a &=& \pm \frac{2\sqrt{21} }{3} \\[5pt] \end{eqnarray}が求める解であることがわかります。

解答

ナニヌネ:2213
ノ:2

参考

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