【必答問題】
問題編
問題
$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 次の $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。
命題A「a が無理数で $1+a^2=b^2$ ならば、b は無理数である」
命題B「a が有理数で $1+a^2=b^2$ ならば、b は有理数である」の真偽について正しいものは、 $\myBox{シ}$ である。
0: 命題Aは真、命題Bは真
1: 命題Aは真、命題Bは偽
2: 命題Aは偽、命題Bは真
3: 命題Aは偽、命題Bは偽(2) 次の $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。
実数 a, b について述べた文のうち、正しいものは $\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$ である。
0: $a-1 \leqq b \leqq a+1$ は、 $a=b$ であるための十分条件である。
1: $a-2 \leqq b \leqq a+2$ は、 $a-1 \leqq b \leqq a+1$ であるための必要条件である。
2: 命題「 $a-1 \leqq b \leqq a+1$ $\Rightarrow$ $(a=1$ かつ $b=1)$ 」の逆は「 $(a=1$ または $b=1)$ $\Rightarrow$ $a-1 \leqq b \leqq a+1$ 」である。
3: 命題「 $a-1 \leqq b \leqq a+1$ $\Rightarrow$ $(a=1$ かつ $b=1)$ 」の対偶は「 $(a\ne1$ または $b\ne1)$ $\Rightarrow$ $(a-1 \gt b$ または $b \leqq a+1)$ 」である。
考え方
(1)は、三平方の定理とからめて考えるとわかりやすいかもしれません。反例がないか、よく考えてみましょう。
(2)は、ごちゃごちゃしていて考えにくそうですが、一つ一つはそれほど難易度は高くありません。(1)に比べれば、だいぶ易しめです。落ち着いて考えましょう。