センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 次の $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 命題A「a が無理数で $1+a^2=b^2$ ならば、b は無理数である」
 命題B「a が有理数で $1+a^2=b^2$ ならば、b は有理数である」

の真偽について正しいものは、 $\myBox{シ}$ である。

 0: 命題Aは真、命題Bは真
 1: 命題Aは真、命題Bは偽
 2: 命題Aは偽、命題Bは真
 3: 命題Aは偽、命題Bは偽

(2) 次の $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 実数 a, b について述べた文のうち、正しいものは $\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$ である。

 0: $a-1 \leqq b \leqq a+1$ は、 $a=b$ であるための十分条件である。

 1: $a-2 \leqq b \leqq a+2$ は、 $a-1 \leqq b \leqq a+1$ であるための必要条件である。

 2: 命題「 $a-1 \leqq b \leqq a+1$ $\Rightarrow$ $(a=1$ かつ $b=1)$ 」の逆は「 $(a=1$ または $b=1)$ $\Rightarrow$ $a-1 \leqq b \leqq a+1$ 」である。

 3: 命題「 $a-1 \leqq b \leqq a+1$ $\Rightarrow$ $(a=1$ かつ $b=1)$ 」の対偶は「 $(a\ne1$ または $b\ne1)$ $\Rightarrow$ $(a-1 \gt b$ または $b \leqq a+1)$ 」である。

【広告】
教科書や従来の参考書では、いろいろ書かれているわりに、読者が一番知りたい肝心なことは省かれている傾向があります。本書は、ここを重点的に丁寧に解説しました。ですから、しっかり読んでもらえばスムーズに理解してもらえるはずです。本書は気楽に読めて即効的な力がつくことを謳うものではありません。しっかり読む人に、数学的な心と考えること理解することの喜びと力を伝えるものです。
著者:長岡 亮介
出版社:旺文社
発売日:2012-09-23
ページ数:752 ページ
値段:¥1,870
(2020年09月 時点の情報です)

考え方

(1)は、三平方の定理とからめて考えるとわかりやすいかもしれません。反例がないか、よく考えてみましょう。

(2)は、ごちゃごちゃしていて考えにくそうですが、一つ一つはそれほど難易度は高くありません。(1)に比べれば、だいぶ易しめです。落ち着いて考えましょう。

1 2