センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 次の $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　命題A「a が無理数で $1+a^2=b^2$ ならば、b は無理数である」
　命題B「a が有理数で $1+a^2=b^2$ ならば、b は有理数である」

の真偽について正しいものは、 $\myBox{シ}$ である。

　0: 命題Aは真、命題Bは真
　1: 命題Aは真、命題Bは偽
　2: 命題Aは偽、命題Bは真
　3: 命題Aは偽、命題Bは偽

(2) 次の $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

　実数 a, b について述べた文のうち、正しいものは $\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$ である。

　0: $a-1 \leqq b \leqq a+1$ は、 $a=b$ であるための十分条件である。

　1: $a-2 \leqq b \leqq a+2$ は、 $a-1 \leqq b \leqq a+1$ であるための必要条件である。

　2: 命題「 $a-1 \leqq b \leqq a+1$ $\Rightarrow$ $(a=1$ かつ $b=1)$ 」の逆は「 $(a=1$ または $b=1)$ $\Rightarrow$ $a-1 \leqq b \leqq a+1$ 」である。

　3: 命題「 $a-1 \leqq b \leqq a+1$ $\Rightarrow$ $(a=1$ かつ $b=1)$ 」の対偶は「 $(a\ne1$ または $b\ne1)$ $\Rightarrow$ $(a-1 \gt b$ または $b \leqq a+1)$ 」である。

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著者：長岡 亮介
出版社：旺文社
発売日：2012-09-23
ページ数：752 ページ
値段：￥1,870
(2020年09月 時点の情報です)

考え方

(1)は、三平方の定理とからめて考えるとわかりやすいかもしれません。反例がないか、よく考えてみましょう。

(2)は、ごちゃごちゃしていて考えにくそうですが、一つ一つはそれほど難易度は高くありません。(1)に比べれば、だいぶ易しめです。落ち着いて考えましょう。