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センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第3問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 壺の中に1から4までの数字が一つずつ書かれた4枚のカードが入っている。この壺からカードを1枚取り出し、その数字を見てもとの壺に戻す試行を行う。

(1) この試行を2回行うとき、2回続けて数字1が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ア} }{\myBox{イウ} }$ であり、2回続けて奇数の数字が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{エ} }{\myBox{オ} }$ である。

(2) この試行を4回行うとき、数字1が少なくとも2回取り出される確率は $\dfrac{\myBox{カキ} }{\myBox{クケコ} }$ である。

(3) この試行を繰り返すとき、1回目から4回目までに取り出された数字に、1から4までのすべての数字が表れる確率は $\dfrac{\myBox{サ} }{\myBox{シス} }$ である。また、4回繰り返してもどれかの数字が現れないという条件のもとで、さらに、もう1度試行を行うと1から4までのすべての数字が現れる条件つき確率は $\dfrac{\myBox{セ} }{\myBox{ソタ} }$ である。

考え方

一番最後以外は、基本的な問題です。

最後だけ、ややこしいです。4回中、2回出る数字が1つ、1回出る数字が2つあります。これらの選び方と、これらの数字がいつ出るかを組み合わせて数えます。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 壺の中に1から4までの数字が一つずつ書かれた4枚のカードが入っている。この壺からカードを1枚取り出し、その数字を見てもとの壺に戻す試行を行う。

(1) この試行を2回行うとき、2回続けて数字1が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ア} }{\myBox{イウ} }$ であり、2回続けて奇数の数字が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{エ} }{\myBox{オ} }$ である。

解説

2回続けて1が取り出される場合の数は1通りで、取り出し方は全部で $4^2=16$ 通りなので、2回続けて1が取り出される確率は $\dfrac{1}{16}$ となります。

また、奇数は2つあるので、2回続けて奇数の数字が取り出される確率は\[ \frac{2^2}{4^2}=\frac{1}{4} \]となります。

解答

アイウ:116
エオ:14

解答編 つづき

問題

(2) この試行を4回行うとき、数字1が少なくとも2回取り出される確率は $\dfrac{\myBox{カキ} }{\myBox{クケコ} }$ である。

解説

数字1が取り出される回数は、0回から4回まであります。少なくとも2回取り出される確率を考えるよりも、全体から0回と1回のときを引いたほうが早く出せそうです。

1を取り出した回数が0回のときは、すべて1以外の数字なので、こうなる確率は\[ \frac{3^4}{4^4}=\frac{81}{256} \]となります。また、回数が1回のときは、いつ1を取り出すかが4通りあり、それ以外は1以外の数字を取り出せばいいので、こうなる確率は\[ \frac{4\times 3^3}{4^4}=\frac{108}{256} \]となります。

よって、少なくとも2回取り出される確率は\[ 1-\frac{81}{256}-\frac{108}{256}=\frac{67}{256} \]となります。

解答

カキクケコ:67256

参考

解答編 つづき

問題

(3) この試行を繰り返すとき、1回目から4回目までに取り出された数字に、1から4までのすべての数字が表れる確率は $\dfrac{\myBox{サ} }{\myBox{シス} }$ である。

解説

1から4までのすべての数字が表れる場合の数は $4!$ 通りなので、こうなる確率は\[ \frac{4!}{4^4}=\frac{3}{32} \]となります。

解答

サシス:332

解答編 つづき

問題

また、4回繰り返してもどれかの数字が現れないという条件のもとで、さらに、もう1度試行を行うと1から4までのすべての数字が現れる条件つき確率は $\dfrac{\myBox{セ} }{\myBox{ソタ} }$ である。

解説

さきほどの結果から、「4回繰り返してもどれかの数字が現れない」確率は、\[ 1-\frac{3}{32}=\frac{29}{32} \]となります。

次に、「4回繰り返してもどれかの数字が現れない、かつ、もう1度試行を行うと1から4までのすべての数字が現れる確率」を求めましょう。こうなる確率は、はじめの4回で3種類の数字が出ていて、5回目にまだ出ていない数字が出る、ということですね。

はじめの4回で3種類の数字が出るということは、何かが2回出て、他の2つの数字は1回ずつ出ることがわかります。4つの数字のうち、2回出る数字の選び方が $4$ 通りあり、これが何回目に出るかが ${}_4\mathrm{C}_2$ 通りあります。また、1回ずつ出る数字の選び方が ${}_3\mathrm{C}_2$ 通りあり、この2つの出方は ${}_2\mathrm{P}_2$ 通りあります。5回目に出る数字は、はじめの4回で出ていない数字なので、1通りに決まります。よって、確率は\[ \frac{ 4\times {}_4\mathrm{C}_2 \times {}_3\mathrm{C}_2 \times {}_2\mathrm{P}_2}{4^5} = \frac{9}{64} \]となります。

以上から、求める条件つき確率は、\[ \frac{9}{64} \div \frac{29}{32} = \frac{9}{58} \]となります。

解答

セソタ:958

参考

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