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センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第3問 [2] 解説

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【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 壺を3個用意し、そのうち2個の壺には、それぞれ1から4までの数字が一つずつ書かれた4枚のカードが入っている。残りの1個の壺には、数字1の書かれたカードが2枚、数字2, 3の書かれたカードがそれぞれ1枚入っている。はじめの2個の壺をA型の壺、残り1個の壺をB型の壺と呼ぶ。ただし、これらの壺は外から見て区別できない。
 これら3個の壺から1個をでたらめに選び、更にそこからカードを1枚取り出しその数字を記録してもとの壺に戻す、という試行を行う。
 この試行を2回反復したところ、取り出された数字が2回とも1であった。このとき1回目に選んだ壺がB型であった条件つき確率は $\dfrac{\myBox{チ} }{\myBox{ツ} }$ である。

考え方

原因の確率と呼ばれることもある問題ですが、気にせずに条件つき確率の問題だと思って考えていきましょう。

求めなくてはいけないものは、「2回とも1が出る確率」と、「1回目に選ぶ壺がB型、かつ、2回とも1が出る確率」です。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 壺を3個用意し、そのうち2個の壺には、それぞれ1から4までの数字が一つずつ書かれた4枚のカードが入っている。残りの1個の壺には、数字1の書かれたカードが2枚、数字2, 3の書かれたカードがそれぞれ1枚入っている。はじめの2個の壺をA型の壺、残り1個の壺をB型の壺と呼ぶ。ただし、これらの壺は外から見て区別できない。
 これら3個の壺から1個をでたらめに選び、更にそこからカードを1枚取り出しその数字を記録してもとの壺に戻す、という試行を行う。
 この試行を2回反復したところ、取り出された数字が2回とも1であった。このとき1回目に選んだ壺がB型であった条件つき確率は $\dfrac{\myBox{チ} }{\myBox{ツ} }$ である。

解説

まずは、この試行を1回行って、1が出る確率を求めましょう。

A型の壺を選ぶ確率は $\dfrac{2}{3}$ で、このときに1を選ぶ確率は $\dfrac{1}{4}$ です。また、B型の壺を選ぶ確率は $\dfrac{1}{3}$ で、このときに1を選ぶ確率は $\dfrac{2}{4}$ です。これらは同時には起こらないので、1が出る確率は、\[ \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{4}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \]となります。

1回目の試行と2回目の試行は独立なので、2回とも1が出る確率は\[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \]と求められます。

次に、1回目がB型の壺で、2回とも1が出る確率を求めましょう。1回目がB型で1を選び、2回目はどちらの壺かは決まっていませんが1を選ぶ確率です。なので、\[ \left(\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}\right) \times \frac{1}{3}=\frac{1}{18} \]となります。

よって、求める条件つき確率は、\[ \frac{1}{18} \div \frac{1}{9}=\frac{1}{2} \]となります。

解答

チツ:12

参考

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