なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第5問 解説

問題編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内心を O, 内接円 O と辺 BC の接点を H とする。辺 BC 上に点 D をとる。ただし、 DB, C と異なる点とする。

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 $\triangle \mathrm{ ABD }$ の内心を P とし、内接円 P と辺 BD の接点を E とする。 $\triangle \mathrm{ ACD }$ の内心を Q とし、内接円 Q と辺 CD の接点を F とする。
 PQ を直径とする円と2点 D, H の間の関係で $\triangle \mathrm{ ABC }$ がどのような形でも成り立つものを調べる。

 次の [オ] には、下の 0 ~ 3 のうちから当てはまるものを一つ選べ。
 $\displaystyle \angle \mathrm{ ADP }=\frac{[ア]}{[イ]}\angle \mathrm{ ADB }$, $\displaystyle \angle \mathrm{ ADQ }=\frac{[ウ]}{[エ]}\angle \mathrm{ ADC }$ であるから、 PQ を直径とする円と点 D の関係について正しい選択肢は [オ] である。

 0: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 D はその円の内部にある。
 1: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 D はその円周上である。
 2: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 D はその円の外部にある。
 3: D が辺 BC 上のどの位置にあるかに応じて、 D は、円の内部、円周上、円の外部のどの場合もある。

 次の [カ] ~ [サ] に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
\begin{eqnarray}
\mathrm{ BH } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ AB }+[カ]-[キ]) \quad \cdots ① \\[5pt]
\mathrm{ BE } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ AB }+[ク]-[ケ]) \quad \cdots ② \\[5pt]
\mathrm{ DF } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ CD }+[コ]-[サ]) \quad \cdots ③ \\[5pt]
\end{eqnarray}である。
 0: AC 1: AD 2: BC 3: BD

 次の [シ] に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 ① ~ ③ から、 $\mathrm{ EH }=[シ]$ であることがわかる。
 0: FQ 1: OP 2: $\frac{1}{2}$EP 3: DF

 次の [ス] に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 PQ の中点を J とする。 J を通り辺 BC に垂直な直線と BC の交点を K とすると、 KEF の中点であるから、 $\mathrm{ HK }=[ス]$ である。
 0: DK 1: $\frac{1}{2}$JK 2: EH 3: $\frac{1}{2}$FK

 次の [セ] に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 $\mathrm{ HK }=[ス]$ に着目すると、 PQ を直径とする円と点 H の関係について、正しい選択肢は [セ] である。
 0: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 H はその円の内部にある。
 1: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 H はその円周上である。
 2: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 H はその円の外部にある。
 3: D が辺 BC 上のどの位置にあるかに応じて、 H は、円の内部、円周上、円の外部のどの場合もある。

考え方

出てくる点が多く、考えにくいです。設問によって考えるべき点が異なるので、何度か図をかきなおしながら解くといいでしょう。

カ~サは、1つ解けたら使いまわすようにしましょう。終盤で出てくる J は円の中心であることに注意します。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2016年度
分野: 図形の性質
トピック: 平面図形
レベル: ややむずい
キーワード: 角の二等分線, 内接円
更新日:2016/12/08