なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第2問 [4] 解説

問題編

問題

(注:一部表記を調整しています)

 次の表3は、あるクラスの生徒30人に行った科目Xと科目Yのテストの得点であり、これらの平均値、標準偏差、共分散をまとめたものが下の表4である。

 表3 科目Xと科目Yの得点
\begin{array}{cccccccccccccccc}
\hline
科目X
& 63 & 76 & 58 & 71 & 75 & 56 & 81 & 80 & 84 & 77 & 76 & 63 & 63 & 59 & 63
\\
科目Y
& 47 & 78 & 60 & 46 & 58 & 63 & 73 & 59 & 66 & 49 & 62 & 58 & 65 & 50 & 42
\\
\hline
\end{array}\begin{array}{cccccccccccccccc}
\hline
科目X
& 77 & 78 & 68 & 59 & 72 & 68 & 79 & 67 & 79 & 73 & 77 & 67 & 63 & 78 & 76
\\
科目Y
& 82 & 66 & 40 & 55 & 42 & 69 & 77 & 57 & 63 & 52 & 49 & 45 & 55 & 84 & 56
\\
\hline
\end{array}

 表4

平均値 標準偏差
科目X 70.9 7.81
科目Y 58.9 11.74
科目Xと科目Yの得点の共分散 36.89

(共分散とは、科目Xの得点の偏差と科目Yの得点の偏差の積の平均値である)

(1) 次の [ソ] に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 科目Xと科目Yの得点を散布図にしたものは [ソ] である。

0center-1a-2016-re-2-4-01

1center-1a-2016-re-2-4-02

2center-1a-2016-re-2-4-03

3center-1a-2016-re-2-4-04

(2) 次の [タ] に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 表3の得点を $\displaystyle \frac{1}{2}$ にして50点満点の得点に換算した。例えば、62点であった場合は得点を2で割った値である31点とし、63点であった場合は31.5点とする。このとき、科目Xの得点の偏差と科目Yの得点の偏差は、換算後、それぞれもとの得点の偏差の $\displaystyle \frac{1}{2}$ になる。したがって、科目Xについてもとの標準偏差と換算後の標準偏差を比較し、さらにもとの共分散と換算後の共分散を比較すると、 [タ] 。

 0 換算後の標準偏差と共分散の値はともに、もとの値の $\displaystyle \frac{1}{2}$ になる
 1 換算後の標準偏差と共分散の値はともに、もとの値の $\displaystyle \frac{1}{4}$ になる
 2 換算後の標準偏差の値はもとの値の $\displaystyle \frac{1}{2}$ になり、共分散の値はもとの値の $\displaystyle \frac{1}{4}$ になる
 3 換算後の標準偏差の値はもとの値の $\displaystyle \frac{1}{4}$ になり、共分散の値はもとの値の $\displaystyle \frac{1}{2}$ になる

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考え方

(1)は相関係数からあたりをつけて考えましょう。答えを出すだけなら、各値に対応する点があるかどうかで判断することも可能ですが。

(2)は、標準偏差や共分散をどうやって求めるか、定義を思い出して考えましょう。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2016年度
分野: データの分析
トピック: データの分析
レベル: ややむずい
キーワード: 標準偏差, 共分散, 散布図
更新日:2016/12/05