センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第2問 [1] 解説

問題編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ AB }=1$, $\mathrm{ CA }=\sqrt{3}$, $\displaystyle \cos\angle \mathrm{ BAC }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ とすると、 $\mathrm{ BC }=\sqrt{[ア]}$ であり、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の面積は $\displaystyle \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$ である。
 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円の中心を O とし、直線 OB と $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円との交点で B と異なる点を D とすると、 $\mathrm{ BD }=[エ]$ であり、 $\triangle \mathrm{ BCD }$ の面積は $\displaystyle \frac{[オ]\sqrt{[カ]}}{[キ]}$ である。
 直線 AD と直線 BC との交点を E とすると
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{ AE }}{\mathrm{ DE }} = \frac{[ク]}{[ケ]}
\end{eqnarray}である。

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考え方

前半は、余弦定理や相互関係を使って解く基本的な問題です。

中盤は、直径や直角が出てきていることに注目して解いていきます。

最後は、相似な三角形に注目して解きましょう。