【標準】一次方程式の利用（食塩水の濃度）

🕒 2019/06/01 🔄 2023/05/01

ここでは、食塩水の濃度に関係する一次方程式を見ていきます。3つを混ぜる場合を見ていきます。

📘 目次

２つの食塩水と水を混ぜるその１

例題1

5%の食塩水に、60gの水を加え、さらに8%の食塩水を250g加えてよくかき混ぜると、6%の食塩水ができました。5%の食塩水は何gありましたか。

【基本】一次方程式の利用（食塩水の濃度）で見たように、食塩水の濃度の問題を考えるには、食塩水全体の重さや食塩の重さに着目するのでした。食塩水を混ぜた場合、食塩水の重さや食塩の重さは足し算で求められますが、濃度自体は足し算で求められないからです。どういう比率で混ぜるかによって濃度は変わるので、濃度のまま考えるのは難しいのでしたね。

まずは、食塩水の重さについて考えてみましょう。5%の食塩水の重さはわからないので、これを $x$ gとしておきましょう。これに、水60gと別の食塩水を250g混ぜるので、最終的にできる食塩水の重さは、\[ x+60+250 \]gであることがわかります。

次に、食塩の重さについて考えてみます。5%の食塩水 $x$ gに含まれる食塩の重さは、 $0.05x$ gです。60gの水には食塩は含まれていないので、8%の食塩水250gに含まれている食塩の重さだけ増えることがわかります。よって、食塩の重さは、全体で\[ 0.05x+0.08\times 250 \]gとなります。一方、これは、最終的にできあがる6%の食塩水に含まれている食塩の重さであるともいえます。この食塩水の重さは $(x+310)$ gなので、食塩の重さは\[ 0.06(x+310) \]gとなります。この2つが等しいことから方程式が作れます。以上を踏まえると、解答は次のようになります。

解答

5%の食塩水を $x$ gとすると、
\begin{eqnarray} 0.05x+0.08\times 250 &=& 0.06 (x+60+250) \\[5pt] 5x+8\times 250 &=& 6 (x+310) \\[5pt] 5x+2000 &=& 6x+1860 \\[5pt] 6x-5x &=& 2000-1860 \\[5pt] x &=& 140 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。よって、140gである。これは問題にあっている。
答：140g

1行目の式から2行目は、両辺を100倍しています。

２つの食塩水と水を混ぜるその２

例題2

30gの水に、2%の食塩水と6%の食塩水を混ぜて、5%の食塩水500gを作ろうと思います。濃度2%の食塩水は何g混ぜればいいですか。

今回も、食塩水の重さと食塩の重さについて考えていきます。

今回は、2つの食塩水がどれだけあるかはわかりません。しかし、完成後の食塩水の重さはわかっています。なので、2%の食塩水が $x$ gあるとすれば、6%の食塩水は $(500-30-x)$ gあることがわかります。

次に、食塩について考えます。2%の食塩水には $0.02x$ gの食塩が含まれています。6%の食塩水には、$0.06(500-30-x)$ gの食塩が含まれています。最終的にできあがる食塩水には、 $0.05\times 500$ g含まれいます。これらを組み合わせれば、方程式が作れますね。解答は次のようになります。

解答

2%の食塩水の重さを $x$ gとすると、
\begin{eqnarray} 0.02x+0.06(500-30-x) &=& 0.05\times 500 \\[5pt] 2x+6(470-x) &=& 5\times 500 \\[5pt] 2x+2820-6x &=& 2500 \\[5pt] -4x &=& 2500-2820 \\[5pt] x &=& -320\div(-4) \\[5pt] &=& 80 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。よって、2%の食塩水を80gまぜればよい。これは問題にあっている。
答：80g

これも、1行目の式から2行目は、両辺を100倍しています。