【基本】なぜ一次方程式を使って解くのか

別のページで、一次方程式を使って問題を解く方法を見てきましたが、ここでは、どうして一次方程式を使う必要があるのかを改めて考えてみます。

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一次方程式を使わずに解く

【基本】一次方程式の利用(買い物)のページなどで、文章題を一次方程式を使って解く方法を見てきました。例えばこのリンク先では、次のような問題を一次方程式を使って解きました。

例題1
120円のジュースを何本かと、140円のパンを1個買ったところ、代金は500円でした。ジュースは何本買いましたか。

ただ、このくらいのレベルであれば、一次方程式を使うまでもありません。ジュースとパンの代金が500円なのだから、ジュースだけの代金は合計からパンの代金を引けば求められます。ジュース1本の値段がわかっているので、本数もすぐに出せます。なので、次のような式をたてて計算すれば答えが求められます。\[ (500-140)\div 120 \]これを計算して、3本だと求めることも可能です。(この解き方は、本質的には、上のリンク先で見た一次方程式を使う解法と同じとき方です)

また、中学受験をした人であれば、もう少し難しい問題でも、一次方程式を使わずに解いていたはずです。例えば、【基本】一次方程式の利用(和を使う)で見た次の問題を考えてみます。

例題2
1個90円のみかんと1個120円のりんごを合わせて12個買いました。代金の合計が1200円でした。みかんとりんごは、それぞれ何個買いましたか。

中学受験をした人なら知っていると思いますが、小学校の範囲で考えるには、まず、「全部りんごだったら」と考えます。もし全部りんごだったら、\[ 120\times12=1440 \]円になります。これは、実際の金額よりも\[ 1440-1200=240 \]円多いですね。その理由は、全部りんごだったわけではないからです。「全部りんご」の状態から、1個ずつみかんとりんごを入れ替えていきましょう。そうすると、1個入れ替えるたびに、 $120-90=30$ 円ずつ代金が下がっていきます。 $240$ 円下がればいいので、\[ 240\div30=8 \]となります。「全部りんご」の状態から、「みかんとりんごを1個ずつ入れ替え」を8回やればいいわけなので、みかんは8個、りんごは4個だとわかります。(この解き方は、本質的には、上のリンク先で見た一次方程式を使う解法と同じとき方です)

このように、一次方程式を使って解く問題は、一次方程式を使わずに解くこともできます。では、なぜわざわざ一次方程式を使うのでしょうか。

方針を共通化できる

一次方程式を使うメリットの一つに、問題を解く方針を共通化できるというものがあります。

先ほど見た2つの例題は、一次方程式を使って解くなら、流れは共通です。わからないものを文字で置く、方程式を作る、方程式を解く、答える。この流れです。

一方、一次方程式を使わない解き方では、問題によって解き方を変えていかなければいけません。例題1と2では、アプローチの仕方がまったく違いますね。例題2の解き方を自力でひらめくのは相当難しいでしょう。

「わからないものを文字で置いて方程式が作れないか」というアプローチなら、初めて見るタイプの難しい問題でも途中までできるかもしれません。しかし、方程式を用いずに解く方法は、アプローチを一から考えなければいけないので、手も足も出ない可能性が高いでしょう。方程式を利用して解く方法のほうが、応用がきくと言えるでしょう。

計算が自由にできる

一次方程式を使うと、計算が問題の制約を受けない、というメリットもあります。

例えば、例題1では、ジュースを買った本数を $x$ 本とすると、次のような方程式が成り立ちます。\[ 120x+140=500 \]リンク先では、これを求めるときに、140を移行して、120で割る、と計算しましたが、別にいきなり120で割ることも可能です。\[ x+\frac{7}{6}=\frac{25}{6} \]こうして、 $\dfrac{7}{6}$ を移行して、 $x=3$ だと求めることもできます。今の場合は、計算がめんどくさくなるだけなのでやる必要はありませんが、重要なのは、方程式を作った後は、計算は自由にできる、という点です。

一方、一次方程式を使わずに、言葉で考えていくと、計算の自由度は減ってしまいます。「140を移行して120で割る」という式変形は、言葉で書くと「パンをのぞいた代金を出すには、140を引けばいい。ジュース1本が120円だから本数を出すには120で割ればいい」となります。

ところが、「120で割って $\dfrac{7}{6}$ を移行する」だとなかなか言葉で説明するのは難しいです。パンの代金140円や合計金額500円を、ジュース1本の値段120円で割る意味や、割った答えが何を意味するかは、よくわかりません。ジュース $\dfrac{7}{6}$ 本分のパン、というのは意味不明です。つまり、このような計算をする選択肢はないと言えるでしょう。

一次方程式を利用する解き方では、「方程式を作る」までのパートと「方程式を解く」パートは完全に分離されているため、移行や同じ数を両辺に掛けたり割ったりする式変形は自由にできます。方程式を解くのは、数学の計算の世界での式変形だからです。一方、一次方程式を使わずに、言葉で考えていくスタイル、値の意味を考えて解く方法では、意味の説明できないような式変形はできず、自由度は少ないです。

おわりに

ここでは、一次方程式を使って解くメリットを見てきました。一次方程式を使わずに解く方法もありますが、一次方程式を使って解く方法のほうが、問題を解く方針を共通化できるうえ、計算も自由にできるというメリットがあります。

また、将来、より複雑な方程式を利用して、より複雑な問題を解けるようにもなります。そのためにも、一次方程式を使って問題を解くことに慣れていくようにしましょう。