【基本】不定積分の置換積分（微分ごと置き換え）

🕒 2018/11/10 🔄 2023/05/01

ここでは、微分ごと置き換える置換積分（不定積分）について見ていきます。なお、このページでは、 $C$ は積分定数を表します。

📘 目次

微分ごと置き換える置換積分

【基本】不定積分の置換積分（dxを置き換え）で見た、置換積分について振り返ってみましょう。

\[ \int f(x)dx \]という不定積分を計算したい場合に、 $x=g(t)$ というように、 $x$ を何か別の式で置き換えたいことがあるのでしたね。この不定積分を $t$ で微分すると、合成関数の微分により
\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\int f(x)dx &=& f(x)g'(t) \\[5pt] &=& f(g(t))g'(t) \end{eqnarray}となることから、\[ \int f(x)dx=\int f(g(t))g'(t)dt \]が成り立ちます。被積分関数の $x$ を $g(t)$ に置き換えるだけでなく、 $dx$ を $g'(t)dt$ で置き換えないといけません。

このように置き換えて積分する方法を置換積分と言いますが、置換積分にはもう一つの置き換え方があります。先ほどの式を、右辺から左辺に変形するやり方です。つまり、\[ \int f(g(t))g'(t)dt=\int f(x)dx \]と置き換えるやり方です。一般的に、計算したい積分の積分変数は $x$ で表されることが多いので、右辺の積分変数を $t$ から $x$ に変え、左辺と右辺の積分変数が同じだとややこしいので右辺の $x$ を別の文字の $u$ に変えた\[ \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du \]といった形で教科書などでは紹介されています。この場合、 $u=g(x)$ ということです。この変形を行う場合には、 $g(x)$ の部分を $u$ に置き換えるだけでなく、 $g'(x)dx$ を $du$ に置き換えている点に注意しましょう。

不定積分の置換積分その２

$u=g(x)$ で、 $g(x)$ が微分可能であるとき、\[ \int f(g(x)) g'(x)dx = \int f(u) du \]

ただ、これだけを見ても、はじめはまったく何のことかわからないでしょう。具体的な計算を通じて見ていきましょう。

置換積分の計算

例題

次の不定積分を計算しなさい。\[ \int xe^{x^2} dx \]

この計算に、先ほど見た置換積分の計算が使えます。どのように使うか考えてみましょう。

まず、注目したいのは、 $e^{x^2}$ の指数の部分です。ここに $x^2$ があるとやっかいですね。ここが $e^u$ という形になっていれば計算しやすいです。なので、「 $u=x^2$ と置けたらいいな」と考えます。

しかし、変数が変わると、 $dx$ の部分も変えないといけないのでした。 $u=x^2$ とすると、 $(x^2)' dx$ を $du$ に置き換えないといけないのでしたね。つまり、 $2x dx$ を $du$ に置き換えないといけない、ということです。

よくて見ると、積分の $e^{x^2}$ 以外の部分に、 $x dx$ があり、ここの部分が使えそうだということがわかります。

以上を踏まえて、 $u=x^2$ として置換積分をすると
\begin{eqnarray} & & \int xe^{x^2} dx \\[5pt] &=& \int e^{x^2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2x dx \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\int e^{x^2}\cdot (x^2)' dx \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\int e^u du \\[5pt] &=& \frac{1}{2} e^u +C \\[5pt] &=& \frac{1}{2} e^{x^2} +C \\[5pt] \end{eqnarray}となります。実際に微分してみると、被積分関数になることが確かめられます。

2種類の置換積分について

置換積分は2種類あることを書きましたが、特に違いについて考える必要はありません。

積分変数が $x$ のとき、 $x=g(t)$ と置き換えたい（ $x$ を別の文字の関数で置き換えたい）なら、 $dx$ を $g'(t)dt$ に置き換え、 $u=g(x)$ と置き換えたい（ $x$ の関数を別の文字で置き換えたい）なら $g'(x)dx$ を $du$ と置き換えるようにします。 $g$ のあるほうに、 $g'$ をつけて変換するだけです。

説明上、分けて紹介していますが、「これは1つ目の置換積分だな」「こっちは2つ目の置換積分を使う」といったことは区別をする必要はありません。試験でも、どちらも「置換積分」とまとめて書いて問題ありません。