【基本】一次式と不定積分

🕒 2018/11/06 🔄 2023/05/01

ここでは、一次式 $ax+b$ が絡んだ関数の不定積分について考えていきます。なお、 $C$ は積分定数です。

📘 目次

一次式と不定積分（具体例）

例題

次の不定積分を求めなさい。\[ \int (2x-3)^4 dx \]

もちろん、展開してから、各項の積分を計算してもいいのですが、さすがにめんどくさいです。

今、積分について聞かれていますが、まず、微分について考えてみましょう。この被積分関数 $(2x-3)^4$ を微分すればどうなるでしょうか。これは、【基本】合成関数の微分や【基本】合成関数の微分の計算などで見たように、合成関数の微分だと思って計算すればいいんですね。\[ y=t^4,\ t=2x-3 \]とおいて、まずは、 $y$ を $t$ で微分し、次に $t$ を $x$ で微分したものを掛けます。結果は
\begin{eqnarray} \left\{(2x-3)^4\right\}' &=& 4(2x-3)^3\times (2x-3)' \\[5pt] &=& 8(2x-3)^3 \end{eqnarray}となります。

この結果と、【基本】xのp乗の不定積分の結果を比較すれば、まず、微分した結果が $(2x-3)^4$ と関数は、 $(2x-3)^5$ が絡んでいることが予想できます。ただ、これをそのまま微分すると、指数の $5$ と「 $(2x-3)$ を微分した結果」である $2$ が出てきてしまうので、これらで割らないといけないですね。そのため、積分した結果は\[ \int (2x-3)^4 dx=\frac{(2x-3)^5}{10}+C \]となります。右辺を微分すれば正しいことが確かめられます。

展開して計算するよりだいぶ楽ですね。

一次式と不定積分

上の問題では、 $2x-3$ の部分が $t$ などに置き換えられれば、すでに知っている不定積分の式が使える、という状況でした。このようなケースは、今後よく出てきます。例えば、\[ \int \sin 2x dx,\ \int e^{3x-1}dx\]などです。これらは、 $2x$ や $3x-1$ の部分が別の文字だったら、不定積分の結果が求められますね。

$f(x)$ について、 $F'(x)=f(x)$ が分かっていたとしましょう。 $F(x)$ は不定積分です。このとき、 $f(ax+b)$ の不定積分を求めてみましょう（ $a\ne 0$ とします）。単純に $F(ax+b)$ を考えてみると
\begin{eqnarray} F'(ax+b) &=& f(ax+b) \cdot (ax+b)' \\[5pt] &=& af(ax+b) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。このことから、 $f(ax+b)$ の不定積分、つまり、微分して $f(ax+b)$ となるものは、\[ \dfrac{1}{a}F(ax+b)+C \]となることがわかります。

具体的に計算してみましょう。 $\sin 2x$ の不定積分を考えてみましょう。もし $2x$ の部分が $t$ だったら、 $-\cos t +C$ となるでしょう。しかし、実際には $2x$ であり、 $(2x)'=2$ 倍だけズレてしまうことになります。よって、このズレを補正して\[ \int \sin 2x dx=-\dfrac{\cos 2x}{2}+C \]となります。合成関数の微分で掛けていたものを、積分では割ることになるわけですね。

$e^{3x-1}$ の場合も考えます。もし $e^{3x-1}$ ではなく $e^t$ だったら、不定積分は $e^t+C$ です。しかし実際には $3x-1$ であり、 $(3x-1)'=3$ 倍だけズレてしまうので、これで割って、\[ \int e^{3x-1} dx=\dfrac{e^{3x-1} }{3}+C \]となることがわかります。

一次式と不定積分

$a\ne 0$, $F'(x)=f(x)$ のとき、次が成り立つ。\[ \int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C \]

これは、将来学ぶ、置換積分の1つで、最もシンプルなものです。右辺を微分すれば確かめられる上、冒頭で見た例題のように、展開せずに計算できるようにもなるので、これを単独で理解しておくのもいいでしょう。