【基本】垂線の作図（直線上にない点を通る）その２

🕒 2019/07/12 🔄 2023/05/01

ここでは、ある点からある直線へ垂線をひく方法を見ていきます。【基本】垂線の作図（直線上にない点を通る）その１で見た内容とは異なる作図の方法を見ていきます。

📘 目次

垂線の作図（直線上にない点を通る）その１の復習

次のような、点 P と直線 $\ell$ があったとします。点 P は直線 $\ell$ 上にはない点です。

このページでも、点 P を通り、直線 $\ell$ に垂直な直線をひく方法を考えてみます。【基本】垂線の作図（直線上にない点を通る）その１では、2つの円を組み合わせた、次の図を利用しました。

上の図を参考に、①直線 $\ell$ 上に2つの点をとり、②点 P を通るように2つの円をかけば、点 P 以外にもう1つ交点ができます。直線 $\ell$ が対称の軸となることから、③2つの円の交点を結ぶと、直線 $\ell$ に垂直な直線が得られます。作図手順に番号をつけてかくと、次のような図になります。

2つの円の交点がわかればいいので、②では、円全体ではなく、円の一部（つまり、弧）だけをかいています。

これが、垂線をひく作図方法の1つですが、もう1つよく知られている方法があります。以下で、見ていきましょう。

垂線の作図（直線上にない点を通る）その２

さて、同じ状況で、別の方法を考えます。

上の図で、点 P を通り、直線 $\ell$ に垂直な直線をひく方法を考えてみます。もう1つの方法でも、利用するのは2つの円を組み合わせた、線対称な次の図形です。

ただ、今回は少し見方を変えて利用します。先ほど復習した1つ目の方法では、直線 AB が直線 $\ell$ のことだと考えて作図しました。今回は、直線 PQ のほうを直線 $\ell$ のことだと思って作図してみます。上の図を、そのまま90度回転してみましょう。文字はいったん消してみます。

どうでしょうか。今考えている状況では、上の図の何がわかっていて、何を作図しないといけないでしょうか。

今回は、点 P が上側の円の中心だ、と考えます。そして、直線 $\ell$ 上に、2つの円の交点がある、という状況を考えます。この2点を結んでできる弦に垂直な直線が作図したい直線ですが、この直線をひくためには、下側の円の中心がどこかを特定できればいいですね。

ここまでのことを踏まえて、次のように作図を行っていきます。まず、直線 $\ell$ 上に、2つの円の交点がくるような状況を考えます。これは、点 P を中心とした円をかきましょう。半径は、直線 $\ell$ と2点で交わるなら、どんな長さでもいいです。

交点がわかればいいので、円全体ではなく円の一部だけをかいています。あとは、下側の円の中心がどこかがわかればいいのですが、それは簡単にはわからないですね。そこで、考え方を変えて、「2つの交点から同じ距離だけ離れている点」と言い換えます。その点は、「2つの交点を通る円の中心」となります。

こうして、この交点と点 P とを結べば、直線 $\ell$ に垂直な直線ができます。

この方法でどうしてうまくいくのか、点に名前を入れて、もう少し考えてみましょう。

点 P を中心とした円をかいて、それと直線 $\ell$ との交点を A, B とすると、 $\triangle \mathrm{ ABP }$ は二等辺三角形となりますね。さらに、点 A, B から同じ半径の円をかいて交点を Q とすれば、 $\triangle \mathrm{ ABQ }$ も二等辺三角形です。

そのため、四角形 APBQ は、直線 PQ について線対称であることがわかります。直線 PQ で折ると、ぴったり重なるからですね。こうして、直線 PQ と直線 AB は垂直に交わることがわかります。

$\mathrm{ AP=BP }$ と $\mathrm{ AQ=BQ }$ はどちらも必要な条件ですが、 AP と AQ の長さは同じでなくても構いません（同じ長さにすることが多いですが）。さらにいうと、直線 $\ell$ から見て、点 Q を点 P と同じ側にとっても構いません（もちろん、このときは、点 Q は点 P と異なるようにとる必要はあります）。