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【基本】複素数平面の導入

🕒 2019/01/27 🔄 2023/05/01

ここでは、複素数平面を導入し、複素数平面を使うことで何ができそうになるのか、を見ていきます。

📘 目次

複素数平面

実数の世界では、数を図示化するために、数直線を使いました。ここでは、複素数を図示化することを考えましょう。

複素数は、2つの実数 $a,b$ を使って、 $a+bi$ と表すことができるのでしたね。2つの実数を使うことから、複素数を図で表すには、平面が必要だと考えられます。

これを踏まえ、複素数 $\alpha=a+bi$ に対して、次のように、点 $(a,b)$ を対応させることにしましょう。

こうすると、複素数と座標平面上の点は、1つずつもれなくダブりなく対応します。このように、複素数を座標平面上の点で表したとき、この平面のことを、複素数平面(complex plane) といいます。複素平面と呼ぶこともあります。

複素数平面上では、 $x$ 軸のことを実軸、 $y$ 軸を虚軸といいます。実軸上の点は実数を表しています。虚軸上の点のうち、原点以外の点は、純虚数を表します。

複素数平面上での点の表し方はいくつかあります。 $\alpha=a+bi$ に対応する点を A とすると、 $\mathrm{ A }(\alpha)$ や $\mathrm{ A }(a+bi)$ と書きます。これで、点 A と複素数 $\alpha=a+bi$ とが対応していることを表します。もっと簡単に、この点 A のことを、点 $\alpha$ と書くこともあります。

実軸は、実数に対応するので、複素数平面は数直線を拡張したもの、と考えることができます。

複素数平面で具体的な点を考えてみよう

具体的に、複素数平面上の点について考えてみましょう。

点 $\mathrm{ P }(3+2i)$, $\mathrm{ Q }(-1)$, $\mathrm{ R }(-2i)$ を複素数平面を使って表すと、次のようになります。

点 P であれば、 $(3,2)$ の点に対応する、ということですね。点 Q は実軸上の点で、点 R は虚軸上の点となります。

さて、ここからは、 $i$ を掛けると、どのような点に移動するかを見てみることにしましょう。

$1+2i$ という複素数について考えてみましょう。これに $i$ を掛けると、次のようになります。\[ (1+2i)i=-2+i \]もう一度かけると、\[ (-2+i)i=-1-2i \]となります。さらにもう一度かけると\[ (-1-2i)i=2-i \]となり、最後にもう一度かけると\[ (2-i)i=1+2i \]となります。最後の値は最初と同じ結果であり、元に戻っていますね。

はじめの複素数に対応する点を A として、 $i$ を掛けた結果に対応する点を順番に B, C, D と置くことにしましょう。つまり、 $\mathrm{ A }(1+2i)$, $\mathrm{ B }(-2+i)$, $\mathrm{ C }(-1-2i)$, $\mathrm{ D }(2-i)$ とする、ということです。これらの点は、複素数平面上では次のようになります。