東京大学 理系 2021年度 第3問 解説

問題編

問題

 関数\[ f(x)=\frac{x}{x^2+3} \]に対して、 $y=f(x)$ のグラフを $C$ とする。点 $\mathrm{ A }(1,f(1))$ における $C$ の接線を\[ \ell:\ y=g(x) \]とする。

(1) $C$ と $\ell$ の共有点で $\mathrm{ A }$ と異なるものがただ1つ存在することを示し、その点の $x$ 座標を求めよ。

(2) (1) で求めた共有点の $x$ 座標を $\alpha$ とする。定積分\[ \int_{\alpha}^1 \{f(x)-g(x)\}^2dx \]を計算せよ。

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考え方

「まさかこの積分をそのまま計算することはないだろう?」と思うかもしれませんが、そのまさかです。ほとんど工夫できるところはなく、いろいろな形の積分を計算しなくてはいけません。

被積分関数に合わせて計算方法をきちんと選べるか、そして、正確に計算できるかが問われています。答えの形はきれいではないので、解いてもあってるのかどうかなかなか自信が持てません。

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