東京大学 理系 2021年度 第5問 解説

問題編

問題

 $\alpha$ を正の実数とする。 $0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を、座標平面上の2点 $\mathrm{ A }(-\alpha,-3)$, $\mathrm{ P }(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 間の距離 $\mathrm{ AP }$ の2乗として定める。

(1) $0\lt \theta\lt \pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ1つ存在することを示せ。

(2) 以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ。

 $0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は、区間 $0\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ のある点において最大になる。

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考え方

増減表をかいて考えるだけですが、計算間違いをしないように注意しないといけません。また、1回微分しただけではわからないので、ひたすら微分をしていくしかないです。図形的な観点から攻めていくことは難しいでしょう。

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