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東京大学 理系 2021年度 第5問 解説

問題編

問題

 $\alpha$ を正の実数とする。 $0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を、座標平面上の2点 $\mathrm{ A }(-\alpha,-3)$, $\mathrm{ P }(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 間の距離 $\mathrm{ AP }$ の2乗として定める。

(1) $0\lt \theta\lt \pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ1つ存在することを示せ。

(2) 以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ。

 $0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は、区間 $0\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ のある点において最大になる。

考え方

増減表をかいて考えるだけですが、計算間違いをしないように注意しないといけません。また、1回微分しただけではわからないので、ひたすら微分をしていくしかないです。図形的な観点から攻めていくことは難しいでしょう。


解答編

問題

 $\alpha$ を正の実数とする。 $0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を、座標平面上の2点 $\mathrm{ A }(-\alpha,-3)$, $\mathrm{ P }(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 間の距離 $\mathrm{ AP }$ の2乗として定める。

(1) $0\lt \theta\lt \pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ1つ存在することを示せ。

解答例

(1)
\begin{eqnarray} f(\theta) &=& (\theta+\sin\theta+\alpha)^2+(\cos\theta+3)^2 \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} & & f'(\theta) \\[5pt] &=& 2(\theta+\sin\theta+\alpha)(1+\cos\theta)+2(\cos\theta+3)(-\sin\theta) \\[5pt] &=& 2(\theta+\sin\theta+\alpha) \\ & & +2\cos\theta(\theta+\sin\theta+\alpha)-2\sin\theta\cos\theta-6\sin\theta \\[5pt] &=& 2(\theta-2\sin\theta+\alpha)+2(\theta+\alpha)\cos\theta \end{eqnarray}となる。また、 \begin{eqnarray} & & f^{\prime\prime}(\theta) \\[5pt] &=& 2(1-2\cos\theta)+2\cos\theta-2(\theta+\alpha)\sin\theta \\[5pt] &=& 2(1-\cos\theta)-2(\theta+\alpha)\sin\theta \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} & & f^{\prime\prime\prime}(\theta) \\[5pt] &=& 2\sin\theta-2\sin\theta-2(\theta+\alpha)\cos\theta \\[5pt] &=& -2(\theta+\alpha)\cos\theta \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

$\alpha$ は正なので、 $f^{\prime\prime}(\theta)$ の増減表は次のようになる。
\begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots &\pi \\ \hline f^{\prime\prime\prime}(\theta) & & - & 0 & + & \\ \hline f^{\prime\prime}(\theta) & 0 & \searrow & & \nearrow & 4 \end{array}よって、 $0\leqq \theta\leqq \pi$ の範囲で、 $f^{\prime\prime}(\theta)=0$ となる $\theta$ は2つ存在し、1つは $0$ で、もう1つは $\dfrac{\pi}{2}$ と $\pi$ の間にある(両端は除く)。これを $\beta$ とおく。

\[ f'(\theta)=2(\theta-2\sin\theta+\alpha)+2(\theta+\alpha)\cos\theta \]だから、
\begin{eqnarray} f'(0) &=& 4\alpha \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} f'(\pi) &=& 2(\pi+\alpha)-2(\pi+\alpha)=0 \end{eqnarray}なので、 $f'(\theta)$ の増減表は次のようになる。 \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \beta & \cdots &\pi \\ \hline f^{\prime\prime}(\theta) & & - & 0 & + & \\ \hline f^{\prime}(\theta) & 4\alpha & \searrow & & \nearrow & 0 \end{array}この増減表から $f'(\beta)$ は負であることがわかり、 $4\alpha$ は正だから、 $0\lt \theta\lt \pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ1つ存在することがわかる。

(終)

解答編 続き

問題

(2) 以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ。

 $0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は、区間 $0\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ のある点において最大になる。

解答例

(2)
(1)より、 $\dfrac{\pi}{2}$ より大きい $\beta$ で、 $0\leqq \theta\leqq \beta$ の範囲で $f'(\theta)$ が狭義単調減少となるものが存在する。 $f'(0)\gt 0$ だから、 $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ が $0$ 以上なら、 $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ に対して $f(\theta)$ は $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ より小さくなる。

一方、 $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\lt 0$ ならば、 $0\leqq \gamma\lt\dfrac{\pi}{2}$ で $f'(\gamma)=0$ となるものがあり、 $0\leqq \theta \leqq \gamma$ で $f(\theta)$ は狭義単調増加、 $\gamma\leqq \theta \leqq \pi$ で $f(\theta)$ は狭義単調減少となるので、 $0\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲のある点で最大になる。

よって、 $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\lt 0$ となる条件を求めればよい。\[ f'(\theta)=2(\theta-2\sin\theta+\alpha)+2(\theta+\alpha)\cos\theta \]なので
\begin{eqnarray} f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) & \lt & 0 \\[5pt] 2\left(\frac{\pi}{2}-2+\alpha\right) & \lt & 0 \\[5pt] \alpha & \lt & 2-\frac{\pi}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

以上から、求める範囲は\[ 0\lt \alpha \lt 2-\frac{\pi}{2} \]となる。

(終)

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