東京大学 理系 2021年度 第6問 解説

問題編

問題

 定数 $b,c,p,q,r$ に対し、\[ x^4+bx+c=(x^2+px+q)(x^2-px+r) \]が $x$ についての恒等式であるとする。

(1) $p\ne 0$ であるとき、 $q,r$ を $p,b$ で表せ。

(2) $p\ne 0$ とする。 $b,c$ が定数 $a$ を用いて
\begin{eqnarray}
b&=&(a^2+1)(a+2) \\[5pt] c&=&-\left(a+\dfrac{3}{4}\right)(a^2+1)
\end{eqnarray}と表されているとき、有理数を係数とする $t$ についての整式 $f(t)$ と $g(t)$ で\[ \{p^2-(a^2+1)\} \{p^4+f(a)p^2+g(a)\}=0 \]を満たすものを1組求めよ。

(3) $a$ を整数とする。 $x$ の4次式\[ x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\frac{3}{4}\right)(a^2+1) \]が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるような $a$ をすべて求めよ。

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考え方

(2)で突然よくわからない式が出てきて、何をすればいいか迷ってしまいますが、冒頭の恒等式以外使えるものがないので、これを利用するしかありません。

答えがごちゃごちゃした積分結果はあってるかどうか不安になりますが、(3)のようにシンプルな答えがポンと出てくると、それはそれで「こんな単純な答えであってるのだろうか」と不安になりますね。

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